【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC=10cm,BD⊥AC于點(diǎn)D,BD=8cm.點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā),沿AC的方向勻速運(yùn)動(dòng),同時(shí)直線PQ由點(diǎn)B出發(fā),沿BA的方向勻速運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)過程中始終保持PQ∥AC,直線PQ交AB于點(diǎn)P、交BC于點(diǎn)Q、交BD于點(diǎn)F.連接PM,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(0<t≤5).線段CM的長度記作y甲 , 線段BP的長度記作y乙 , y甲和y乙關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)變化情況如圖所示.
(1)由圖2可知,點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)速度是每秒 cm,當(dāng)t為何值時(shí),四邊形PQCM是平行四邊形?在圖2中反映這一情況的點(diǎn)是;
(2)設(shè)四邊形PQCM的面積為ycm2 , 求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)是否存在某一時(shí)刻t,使S四邊形PQCM= S△ABC?若存在,求出t的值;若不存在,說明理由;
(4)連接PC,是否存在某一時(shí)刻t,使點(diǎn)M在線段PC的垂直平分線上?若存在,求出此時(shí)t的值;若不存在,說明理由.
【答案】
(1)解:2;E( , )
(2)
解:∵PQ∥AC,
∴△PBQ∽△ABC,
∴△PBQ為等腰三角形,PQ=PB=t,
∴ ,即 ,
解得:BF= t,
∴FD=BD﹣BF=8﹣ t,
又∵M(jìn)C=AC﹣AM=10﹣2t,
∴y= (PQ+MC)FD= (t+10﹣2t)(8﹣ t)= t2﹣8t+40
(3)
解:存在;
∵S△ABC= ACBD= ×10×8=40,
當(dāng)S四邊形PQCM= S△ABC時(shí),y= t2﹣8t+40=20,
解得:t=10﹣5 ,或t=10+5 (不合題意,舍);
即:t=10﹣5 時(shí),S四邊形PQCM= S△ABC
(4)
解:假設(shè)存在某一時(shí)刻t,使得M在線段PC的垂直平分線上,則MP=MC,
過M作MH⊥AB,交AB與H,如圖所示:
∵∠A=∠A,∠AHM=∠ADB=90°,
∴△AHM∽△ADB,
∴ ,
又∵AD=6,
∴ ,
∴HM= t,AH= t,
∴HP=10﹣t﹣ t=10﹣ t,
在Rt△HMP中,MP2=( t)2+(10﹣ t)2= t2﹣44t+100,
又∵M(jìn)C2=(10﹣2t)2=100﹣40t+4t2,
∵M(jìn)P2=MC2,
∴ t2﹣44t+100=100﹣40t+4t2,
解得 t1= ,t2=0(舍去),
∴t= s時(shí),點(diǎn)M在線段PC的垂直平分線上.
【解析】解:(1)由圖2得,點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)速度為2cm/s,PQ的運(yùn)動(dòng)速度為1cm/s,
∵四邊形PQCM是平行四邊形,則PM∥QC,
∴AP:AB=AM:AC,
∵AB=AC,
∴AP=AM,即10﹣t=2t,
解得:t= ,
∴當(dāng)t= 時(shí),四邊形PQCM是平行四邊形,此時(shí),圖2中反映這一情況的點(diǎn)是E( , )
所以答案是:2,E( , ).
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用相似三角形的應(yīng)用,掌握測高:測量不能到達(dá)頂部的物體的高度,通常用“在同一時(shí)刻物高與影長成比例”的原理解決;測距:測量不能到達(dá)兩點(diǎn)間的舉例,常構(gòu)造相似三角形求解即可以解答此題.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點(diǎn)D為BC的中點(diǎn),直角∠MDN繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn),DM,DN分別與邊AB,AC交于E,F兩點(diǎn),下列結(jié)論:①△DEF是等腰直角三角形;②AE=CF;③△BDE≌△ADF;④BE+CF=EF,其中正確結(jié)論是( )
A. ①②④ B. ②③④
C. ①②③ D. ①②③④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,己知△ABC,任取一點(diǎn)O,連AO,BO,CO,并取它們的中點(diǎn)D,E,F(xiàn),得△DEF,則下列說法正確的個(gè)數(shù)是( ) ①△ABC與△DEF是位似圖形; ②△ABC與△DEF是相似圖形;
③△ABC與△DEF的周長比為1:2;④△ABC與△DEF的面積比為4:1.
A.1
B.2
C.3
D.4
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】五一期間,小明一家一起去旅游,如圖是小明設(shè)計(jì)的某旅游景點(diǎn)的圖紙(網(wǎng)格是由相同的小正方形組成的,且小正方形的邊長代表實(shí)際長度100m),在該圖紙上可看到兩個(gè)標(biāo)志性景點(diǎn)A,B.若建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,則點(diǎn)A(-3,1),B(-3,-3),第三個(gè)景點(diǎn)C(3,2)的位置已破損.
(1)請(qǐng)?jiān)趫D中標(biāo)出景點(diǎn)C的位置;
(2)小明想從景點(diǎn)B開始游玩,途經(jīng)景點(diǎn)A,最后到達(dá)景點(diǎn)C,求小明一家最短的行走路程(參考數(shù)據(jù):≈6,結(jié)果保留整數(shù)).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖:數(shù)軸上有A、B兩點(diǎn),分別對(duì)應(yīng)的數(shù)為a,b,已知(a+1)2與|b﹣3|互為相反數(shù).點(diǎn)P為數(shù)軸上一動(dòng)點(diǎn),對(duì)應(yīng)為x.
(1)a= ;b=
(2)若點(diǎn)P到點(diǎn)A和點(diǎn)B的距離相等,則點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)是
(3)數(shù)軸上是否存在點(diǎn)P,使點(diǎn)P到點(diǎn)A和點(diǎn)B的距離之和為5?若存在,請(qǐng)求出x的值;若不存在,說明理由;
(4)|x﹣a|+|x﹣b|的最小值=
(5)當(dāng)點(diǎn)P以每分鐘1個(gè)單位長度的速度從O點(diǎn)向左運(yùn)動(dòng),點(diǎn)A以每分鐘5個(gè)單位長度向左運(yùn)動(dòng),問幾分鐘時(shí)點(diǎn)P到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離相等?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)棱錐的頂點(diǎn)數(shù)為V,面數(shù)為F,棱數(shù)為E.
(1)觀察與發(fā)現(xiàn):三棱錐中,V3= ,F(xiàn)3= ,E3= ;
五棱錐中,V5= ,F(xiàn)5= ,E5= ;
(2)猜想:①十棱錐中,V10= ,F(xiàn)10= ,E10= ;
②n棱錐中,Vn= ,F(xiàn)n= ,En= ;(用含有n的式子表示)
(3)探究:①棱錐的頂點(diǎn)數(shù)(V)與面數(shù)(F)之間的等量關(guān)系: ;
②棱錐的頂點(diǎn)數(shù)(V)、面數(shù)(F)、棱數(shù)(E)之間的等量關(guān)系:E= ;
(4)拓展:棱柱的頂點(diǎn)數(shù)(V)、面數(shù)(F)、棱數(shù)(E)之間是否也存在某種等量關(guān)系?若存在,試寫出相應(yīng)的等式;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,AB=8,AD=5,點(diǎn)E為DC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),把△ADE沿AE折疊,點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D’落在矩形ABCD的對(duì)稱軸上時(shí),DE的長為____________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一輛汽車和一輛摩托車分別從A,B兩地去同一個(gè)城市,它們離A地的路程隨時(shí)間變化的圖象如圖所示.則下列結(jié)論:①摩托車比汽車晚到1h;②A,B兩地的路程為20km;③摩托車的速度為45km/h,汽車的速度為60km/h;④汽車出發(fā)1小時(shí)后與摩托車相遇,此時(shí)距B地40千米.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( )
A. 2個(gè) B. 3個(gè) C. 4個(gè) D. 1個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,AB=6,BC=8,E為AB上一點(diǎn),將△BCE沿CE翻折至△FCE,EF與AD相交于點(diǎn)G,且AG=FG,則線段AE的長為______.
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