Question

11．兩塊等腰直角三角板ABC，DEF按圖1的方式放置在同一條直線l上，點(diǎn)C與點(diǎn)F重合，線段EB繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°交AD于點(diǎn)M．已知∠ABC=∠DEF=90°，DE=2．
（1）求證：AM=DM；
（2）將圖1中的三角板ABC沿直線l向左平移，如圖2所示，設(shè)CE=x．
①求$\frac{AM}{DM}$的值（用含x的代數(shù)式表示）；
②若將圖2中的三角板ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)m°（0＜m＜45），原題中的其它條件保持不變，如圖3所示，請(qǐng)?zhí)骄浚?\frac{AM}{DM}$的值是否發(fā)生變化，若有變化，請(qǐng)求出$\frac{AM}{DM}$的值（用含x的代數(shù)式表示）；若沒有變化，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）如圖1，根據(jù)同位角相等證明AF∥EM，由平行線分線段成比例定理得$\frac{DM}{AM}$=$\frac{DN}{NF}$=1；
（2）①如圖2，作輔助線，構(gòu)建相似三角形，證明ED∥AB和AC∥EG可得結(jié)論；
②$\frac{AM}{DM}$的值沒有變化，如圖3，作輔助線，構(gòu)建相似三角形和全等三角形，證明△AMG∽△DME，得AH=EC=x，證明ED∥HA得比例式，從而得出結(jié)論．

解答 證明：（1）如圖1，∵∠MEB=45°，∠AFB=45°，
∴AF∥EM，
∵∠AFD=180°-45°-45°=90°，
∴∠MND=90°，
∵DE=EF，
∴N是DF的中點(diǎn)，
由AF∥EM得$\frac{DM}{AM}$=$\frac{DN}{NF}$=1，
∴AM=DM；
（2）①如圖2，延長(zhǎng)EM和BA交于點(diǎn)G，
∵∠ABC=∠DEF=90°，
∴ED∥AB，
∴△AMG∽△DME，
由線段EB繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得：∠BEM=45°，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ACB=45°，
∴∠BEM=∠ACB，
∴EG∥AC，
∴$\frac{BC}{EC}=\frac{AB}{AG}$，
∵AB=BC，
∴AG=CE，
∴$\frac{AM}{DM}=\frac{AG}{DE}$=$\frac{x}{2}$；
②$\frac{AM}{DM}$的值沒有變化．如圖3，作∠EBH=90°與EM的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)H，連結(jié)AH，
∴∠ABC=∠HBE=90°，
∴∠EBC=∠ABH，
∵線段EB繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，
∴△EBH和△CAB都是等腰直角三角形，
∴EB=HB，CB=AB，
∴△EBC≌△HBA，
∴∠ECB=∠HAB，AH=EC=x，
延長(zhǎng)HA與CB和CF分別交于點(diǎn)P和Q，
∴∠BCQ=∠PAB，
又∵∠CPQ=∠APB，
∴∠CQP=∠PBA=90°，
∴ED∥HA，
∴$\frac{AM}{DM}$=$\frac{AH}{DE}$=$\frac{EC}{DE}$=$\frac{x}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是幾何變換的綜合題，考查了等腰直角三角形、旋轉(zhuǎn)、全等、相似等性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)；本題的三個(gè)問題都是由平行線分線段成比例定理得出，因此作輔助線構(gòu)建平行線是本題的關(guān)鍵；另外，本題還運(yùn)用了“等角的補(bǔ)角相等”、“如果兩個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，則第三個(gè)角也對(duì)應(yīng)相等”等結(jié)論．