Question

如圖，二次函數(shù)y=ax²-2ax+

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的圖象與x軸交于A、B二點，與y軸交于C點．拋物的頂點為E（1，2），D為拋物線上一點，且CD∥x軸．
（1）求此二次函數(shù)的關(guān)系式；
（2）寫出A、B、C、D四點的坐標(biāo)；
（3）若點F在拋物線的對稱軸上，點G在拋物線上，且以A、B、F、G四點為頂點的四邊形為平行四邊形，求點G的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）將點E的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求得a的值，從而確定該拋物線的解析式．
（2）根據(jù)拋物線的解析式，易知點C的坐標(biāo)為：（0，

3

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），由于C、D關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，進(jìn)而可得到點D的坐標(biāo)；令拋物線的解析式中y=0，通過解方程即可求出點A、B的坐標(biāo)．
（3）此題應(yīng)該分兩種情況考慮：
①當(dāng)點G在x軸上方時，此時平行四邊形以AB為對角線，由于點F在拋物線對稱軸上，因此點G也必在拋物線的對稱軸上，即此時點G與拋物線頂點E重合，由此求得點G的坐標(biāo)；
②當(dāng)點G在x軸下方時，此時平行四邊形以AB為邊，根據(jù)平行四邊形對邊平行且相等可知FG=AB=4，由此可根據(jù)拋物線對稱軸得到G點的橫坐標(biāo)，然后代入拋物線的解析式中即可得到點G的坐標(biāo)．

解答：解：（1）把（1，2）代入y=ax²-2ax+

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得：
2=a-2a+

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，（1分）a=-

1

2

，
∴二次函數(shù)的關(guān)系式為y=-

1

2

x²+x+

3

2

．（2分）

（2）由拋物線的解析式知：C（0，

3

2

），
由于CD∥x軸，則C、D關(guān)于x=1對稱，
故D（2，

3

2

）；
拋物線的解析式中，當(dāng)y=0時，-

1

2

x²+x+

3

2

=0，
解得x=-1，x=3；
故A（-1，0）、B（3，0）、C（0，

3

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）、D（2，

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）．（6分）

（3）①當(dāng)點G在x軸上方時，此時平行四邊形以AB為對角線；
由于點F在拋物線對稱軸上，則點G也在拋物線的對稱軸上，即G、E重合，
故點G₁坐標(biāo)為（1，2）；（8分）
②當(dāng)點G在x軸下方時，由題意知AB=GF=4，得點G的橫坐標(biāo)x=-3或5，（9分）
把x=-3或5代入y=-

1

2

x²+x+

3

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，得y=-6，（10分）
點G₂坐標(biāo)為（-3，-6），點G₃坐標(biāo)為（5，-6）．（12分）
綜上可知，點G的坐標(biāo)為：G₁（1，2）、G₂（-3，-6），G₃（5，-6）．
綜上所述點G坐標(biāo)為（1，2），（-3，-6）或（5，-6）．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)意義、平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識，要注意的是（3）題中，一定要根據(jù)AB在平行四邊形中的不同位置來分類討論，以免漏解．