Question

【題目】如下圖，已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P在BA的延長(zhǎng)線上，PD切⊙O于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B作BE垂直于PD，交PD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C，連接AD并延長(zhǎng)，交BE于點(diǎn)E．

（1）求證：AB=BE；

（2）若PA=2，cosB=，求⊙O半徑的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）3.

【解析】試題分析：（1）連接OD，由PD切⊙O于點(diǎn)D，得到OD⊥PD，由于BE⊥PC，得到OD∥BE，得出∠ADO=∠E，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和等量代換可得結(jié)果；

（2）由（1）知，OD∥BE，得到∠POD=∠B，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)果．

試題解析：（1）證明：連接OD，

∵PD切⊙O于點(diǎn)D，

∴OD⊥PD，

∵BE⊥PC，

∴OD∥BE，

∴∠ADO=∠E，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ADO，

∴∠OAD=∠E，

∴AB=BE；

（2）解：由（1）知，OD∥BE，

∴∠POD=∠B，

∴cos∠POD=cosB=，

在Rt△POD中，cos∠POD=，

∵OD=OA，PO=PA+OA=2+OA，

∴，

∴OA=3，

∴⊙O半徑=3．