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【題目】定義:若拋物線的頂點與軸的兩個交點構成的三角形是直角三角形,則這種拋物線就稱為美麗拋物線.如圖,直線經過點一組拋物線的頂點,,為正整數),依次是直線上的點,這組拋物線與軸正半軸的交點依次是:,,為正整數).若,當為( )時,這組拋物線中存在美麗拋物線.

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】

由拋物線的對稱性可知,所有構成的直角三角形必是以拋物線頂點為直角頂點的等腰三角形,所以此等腰三角形斜邊上的高等于斜邊的一半,又0d1,所以等腰直角三角形斜邊的長小于2,所以等腰直角三角形斜邊的高一定小于1,即拋物線的頂點縱坐標必定小于1,據此對上一步結論分析可得滿足美麗拋物線對應的頂點,再確定拋物線與x軸的交點值與對稱軸的距離,從而可求得d的值

解: 直線l經過點M0,)則b=,

∴直線l

由拋物線的對稱性知:

拋物線的頂點與x軸的兩個交點構成的直角三角形必為等腰直角三角形;

∴該等腰三角形的高等于斜邊的一半

0d1

∴該等腰直角三角形的斜邊長小于2,斜邊上的高小于1(即拋物線的頂點縱坐標小于1)∵當x=1時,1;

x=2時, 1

x=3時,1;

∴美麗拋物線的頂點只有

①若為頂點,由,則

②若為頂點,由,則

綜上所述,d的值為 時,存在美麗拋物線.

故選B

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求證:;

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