Question

【題目】如圖，在△ABC中，BD、BE分別是高和角平分線，點(diǎn)F在CA的延長線上，F(xiàn)H⊥BE交BD于G，交BC于H，下列結(jié)論：①∠DBE=∠F；②2∠BEF=∠BAF+∠C；③∠F=（∠BAC﹣∠C）；④∠BGH=∠ABE+∠C.

其中正確的是（　　）

A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③④

Answer 1

【答案】D

【解析】

①根據(jù)BD垂直FD，F(xiàn)H⊥BE和∠FGD=∠BGO，證明結(jié)論正確；

②根據(jù)角平分線的定義和三角形外角的性質(zhì)證明結(jié)論正確；

③證明∠DBE=∠BAC－∠C－∠DBE，根據(jù)①的結(jié)論，證明結(jié)論正確；

④根據(jù)角平分線的定義和三角形外角的性質(zhì)證明結(jié)論正確.

①由題意可知，∠FDG=∠BOG=90°，

∵∠FGD=∠BGO，

∴∠DBE=∠F，故①正確；

②∵∠BAF=∠ABC+∠C=2∠EBC+∠C，

∴∠BAF+∠C=2(∠EBC+∠C)＝2∠BEF，故②正確；

③∵∠ABD=90°－∠BAC，

∴∠DBE=∠ABE－∠ABD=∠ABE－90°+∠BAC=∠CBD－∠DBE－90°+∠BAC，

∵∠CBD=90°－∠C，

∴∠DBE=∠BAC－∠C－∠DBE，

由①得，∠DBE=∠F，

∴∠F=∠BAC－∠C－∠F，

∴∠F=（∠BAC﹣∠C），故③正確；

④∵∠AEB=∠EBC+∠C，∠EBC =∠ABE，

∴∠AEB=∠ABE+∠C，

又∵BD⊥FC，∠DBE=∠F，

∴∠FGD=∠FEB，

∴∠BGH=∠FGD=∠FEB=∠ABE+∠C，故④正確；

故正確的是①②③④.

故選D.