Question

20．在正方形ABCD中，點(diǎn)E在CD邊上，AE的垂直平分線分別交AD、CB于F、G兩點(diǎn)，垂足為點(diǎn)H．
（1）如圖1，求證：AE=FG；
（2）如圖2，若AB=9，DE=3，求HG的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）過D點(diǎn)作DN∥FG交BC于點(diǎn)N，交AE于點(diǎn)M，證出四邊形FGND是平行四邊形，得出DN=FG，由ASA證明△DNC≌△AED，得出DN=AE，即可得出結(jié)論；
（2）在Rt△ADE中，由勾股定理求出AE=3$\sqrt{10}$，由三角函數(shù)得出tan∠DAE=$\frac{DE}{AD}$=$\frac{1}{3}$，再由三角函數(shù)求出FH=$\frac{1}{3}$AH=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，即可得出結(jié)果．

解答 （1）證明：過D點(diǎn)作DN∥FG交BC于點(diǎn)N，交AE于點(diǎn)M
在正方形ABCD中，AD∥BC，AD=DC，∠ADC=∠C=90°，
則四邊形FGND是平行四邊形，
∴DN=FG，
∵FG垂直平分AE，
∴∠FHA=90°
∵DN∥FG，
∴∠DMA=∠FHA=90°，
∴∠NDE+∠AED=90°，
又∵∠DAE+∠AED=90°，
∴∠NDE=∠DAE，
在△DNC和△AED中，$\left\{\begin{array}{l}{∠NDE=∠DAE}&{\;}\\{CD=DA}&{\;}\\{∠C=∠ADC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DNC≌△AED（ASA），
∴DN=AE，
∴AE=FG；
（2）解：在正方形ABCD中，∠D=90°，AD=9，DE=3
在Rt△ADE中，AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{{9}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{10}$，tan∠DAE=$\frac{DE}{AD}$=$\frac{3}{9}$=$\frac{1}{3}$，
∴在Rt△AHF中，tan∠FAH=$\frac{FH}{AH}$=$\frac{1}{3}$，
點(diǎn)H為AE中點(diǎn)，AH=HE=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{3\sqrt{10}}{2}$，
∴FH=$\frac{1}{3}$AH=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
∴HG=FG-FH=3$\sqrt{10}$-$\frac{\sqrt{10}}{2}$=$\frac{5\sqrt{10}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、勾股定理．三角函數(shù)等知識(shí)；熟練掌握正方形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．