Question

已知O為直線AF上一點，射線OC與射線OB在直線AF同側且不重合，且OD平分∠AOC，
（1）如圖，若∠AOB=86°，∠AOC=30°，求∠DOB和∠DOF的度數(shù)；
（2）若射線OE在∠BOC內部，∠AOB=β（其中0°＜β＜180°），∠DOE=，請畫出草圖，結合圖形猜想射線OE是圖中哪個已知角的平分線？請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵OD平分∠AOC，∠AOC=30°，
∴∠AOD=∠AOC=15°，
∴∠DOB=∠AOB-∠AOD=86°-15°=71°，
∠DOF=180°-∠AOD=180°-15°=165°；

（2）如圖，射線OE是∠BOC的平分線．理由如下：
∵∠AOB=β，∠DOE=，
∴∠A0D+∠BOE=∠AOB-∠DOE=，
∴∠DOE=∠A0D+∠BOE，
∴∠DOC+∠COE=∠A0D+∠BOE，
又∵OD平分∠AOC，∴∠DOC=∠A0D，
∴∠COE=∠BOE，即射線OE是∠BOC的平分線．
分析：（1）先根據(jù)角平分線的定義求出∠AOD的度數(shù)，再∠AOB-∠AOD即可求出∠DOB的度數(shù)，用180°-∠AOD即可求出∠DOF的度數(shù)；
（2）先由已知條件證明出∠DOC+∠COE=∠A0D+∠BOE，再根據(jù)角平分線的定義得出∠DOC=∠A0D，由等式的性質即可得出射線OE是∠BOC的平分線．
點評：本題考查了角平分線的定義、平角的定義及角的計算，難度中等．（1）中根據(jù)角平分線的定義求出∠AOD的度數(shù)是解題的關鍵，（2）中由已知條件證明出∠DOC+∠COE=∠A0D+∠BOE是解題的關鍵．