Question

如圖，直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（3，0），B（t，0）（0＜t＜

3

2

），以AB為邊在x軸上方作正方形ABCD，點(diǎn)E是直線(xiàn)OC與正方形ABCD的外接圓除點(diǎn)C以外的另一個(gè)交點(diǎn)，連接AE與BC相交于點(diǎn)F．
（1）求證：△OBC≌△FBA；?
（2）一拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)O、F、A三點(diǎn)，試用t表示該拋物線(xiàn)的解析式；?
（3）設(shè)題（2）中拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸l與直線(xiàn)AF相交于點(diǎn)G，若G為△AOC的外心，試求出拋物線(xiàn)的解析式；?
（4）在題（3）的條件下，問(wèn)在拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)P，使該點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)AF的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在x軸上？若存在，請(qǐng)求出所有這樣的點(diǎn)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）這兩個(gè)三角形中，已知的條件有∠BCE=∠BAE（圓周角定理），一組直角，BC=AB，因此構(gòu)成了全等三角形的判定條件，因此兩三角形全等．
（2）本題的關(guān)鍵是求出F的坐標(biāo)，根據(jù)（1）的全等三角形可得出OB=BF=t，由此可得出F的坐標(biāo)，然后代入拋物線(xiàn)中即可用待定系數(shù)法求出拋物線(xiàn)的解析式．
（3）易知：正方形的邊長(zhǎng)為3-t，因此C（t，3-t），可設(shè)G的坐標(biāo)為（1.5，b），根據(jù)GO=GC可用t表示出G的縱坐標(biāo)，然后代入拋物線(xiàn)的直線(xiàn)AF的即解析式中即可求出t的值．即能確定出拋物線(xiàn)的解析式．
（4）根據(jù)（3）得出的條件，易證得CF：BF=AC：AB=

2

，根據(jù)三角形內(nèi)角平分線(xiàn)判定定理，可得出AF是∠CAB的角平分線(xiàn)，如果存在P點(diǎn)，那么P必為拋物線(xiàn)與直線(xiàn)AC的交點(diǎn)，可聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)的解析式求出交點(diǎn)坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）證明：∵∠BCE=∠BAE，∠FAB=∠OBC=90°，AB=BC
∴△OBC≌△FBA．

（2）由（1）易知：OF=OB=t，
因此F（t，t），
設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y=ax（x-3），
則有：t=at（t-3），a=

1

t-3

，
∴拋物線(xiàn)的解析式為y=

1

t-3

x²-

3

t-3

x．

（3）易知：C（t，3-t）
設(shè)G點(diǎn)坐標(biāo)為（

3

2

，h），由于GC=OG，
則有（

3

2

-t）²+（h-3+t）²=（

3

2

）²+h²
解得h=

3-2t

2

．
設(shè)直線(xiàn)AF的解析式為y=kx+b，
則有：

kt+b=t 3k+b=0

，
解得

k= t t-3 b= 3t 3-t

，
∴直線(xiàn)AF的解析式為y=

t

t-3

x-

3t

t-3

．
由于直線(xiàn)AF過(guò)G點(diǎn)，
則有當(dāng)x=

3

2

時(shí)，

3-2t

2

=

t

t-3

×

3

2

-

3t

t-3

，
解得t=

6±3 2

2

，
由于0＜t＜

3

2

，
∴t=

6-3 2

2

∴拋物線(xiàn)的解析式為y=-

2

3

x²+

2

x．

（4）由（3）知，BF=t=

6-3 2

2

=

2

（3

2

-3），CF=3-2t=3

2

-3．
∴

CF

BF

=

AC

AB

=

2

∴AF是∠CBA的角平分線(xiàn)，
∴若存在P點(diǎn)，則P點(diǎn)必為直線(xiàn)AC與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)．
易知：直線(xiàn)AC的解析式為：y=-x+3．
則有

y=-x+3 y=- 2 3 x2+ 2 x

，
解得

x=3 y=0

，

x= 3 2 2 y= 6-3 2 2

，
∴存在P點(diǎn)，其坐標(biāo)為（

3 2

2

，

6-3 2

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了正方形的性質(zhì)、圓、全等三角形的判定、軸對(duì)稱(chēng)圖形等知識(shí)點(diǎn)．綜合性強(qiáng)，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．