Question

（2013•重慶）已知，在矩形ABCD中，E為BC邊上一點(diǎn)，AE⊥DE，AB=12，BE=16，F(xiàn)為線段BE上一點(diǎn)，EF=7，連接AF．如圖1，現(xiàn)有一張硬質(zhì)紙片△GMN，∠NGM=90°，NG=6，MG=8，斜邊MN與邊BC在同一直線上，點(diǎn)N與點(diǎn)E重合，點(diǎn)G在線段DE上．如圖2，△GMN從圖1的位置出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿EB向點(diǎn)B勻速移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿AD向點(diǎn)D勻速移動(dòng)，點(diǎn)Q為直線GN與線段AE的交點(diǎn)，連接PQ．當(dāng)點(diǎn)N到達(dá)終點(diǎn)B時(shí)，△GMN和點(diǎn)P同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，解答下列問(wèn)題：

（1）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)G在線段AE上時(shí)，求t的值；
（2）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在點(diǎn)P，使△APQ是等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，說(shuō)明理由；
（3）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)△GMN與△AEF重疊部分的面積為S．請(qǐng)直接寫(xiě)出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式以及自變量t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）如答圖1所示，證明QEMG為平行四邊形，則運(yùn)動(dòng)路程QG=EM=10，t值可求；
（2）△APQ是等腰三角形，分為三種情形，需要分類(lèi)討論，避免漏解．如答圖2、答圖3、答圖4所示；
（3）整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程分為四個(gè)階段，每個(gè)階段重疊圖形的形狀各不相同，如答圖5-答圖8所示，分別求出其面積的表達(dá)式．

解答：解：（1）在Rt△GMN中，GN=6，GM=8，∴MN=10．
由題意，易知點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)線路平行于BC．
如答圖1所示，過(guò)點(diǎn)G作BC的平行線，分別交AE、AF于點(diǎn)Q、R．

∵∠AED=∠EGM=90°，∴AE∥GM．
∴四邊形QEMG為平行四邊形，
∴QG=EM=10．
∴t=

10

1

=10秒．

（2）存在符合條件的點(diǎn)P．
在Rt△ABE中，AB=12，BE=16，由勾股定理得：AE=20．
設(shè)∠AEB=θ，則sinθ=

3

5

，cosθ=

4

5

．
∵NE=t，∴QE=NE•cosθ=

4

5

t，AQ=AE-QE=20-

4

5

t．
△APQ是等腰三角形，有三種可能的情形：

①AP=PQ．如答圖2所示：
過(guò)點(diǎn)P作PK⊥AE于點(diǎn)K，則AK=AP•cosθ=

4

5

t．
∵AQ=2AK，∴20-

4

5

t=2×

4

5

t，
解得：t=

25

3

；
②AP=AQ．如答圖3所示：
有t=20-

4

5

t，
解得：t=

100

9

；
③AQ=PQ．如答圖4所示：
過(guò)點(diǎn)Q作QK⊥AP于點(diǎn)K，則AK=AQ•cosθ=（20-

4

5

t）×

4

5

=16-

16

25

t．
∵AP=2AK，∴t=2（16-

16

25

t），
解得：t=

800

57

．
綜上所述，當(dāng)t=

25

3

，

100

9

或

800

57

秒時(shí)，存在點(diǎn)P，使△APQ是等腰三角形．

（3）如答圖1所示，點(diǎn)N到達(dá)點(diǎn)F的時(shí)間為t=7；
由（1）知，點(diǎn)G到達(dá)點(diǎn)Q的時(shí)間為t=10；
QE=10×

4

5

=8，AQ=20-8=12，
∵GR∥BC，∴

QR

EF

=

AQ

AE

，即

QR

7

=

12

20

，∴QR=

21

5

．
∴點(diǎn)G到達(dá)點(diǎn)R的時(shí)間為t=10+

21

5

=

71

5

；
點(diǎn)E到達(dá)終點(diǎn)B的時(shí)間為t=16．
則在△GMN運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中：
①當(dāng)0≤t＜7時(shí)，如答圖5所示：
QE=NE•cosθ=

4

5

t，QN=NE•sinθ=

3

5

t，
S=

1

2

QE•QN=

1

2

•

4

5

t•

3

5

t=

6

25

t²；

②當(dāng)7≤t＜10時(shí)，如答圖6所示：
設(shè)QN與AF交于點(diǎn)I，
∵tan∠INF=

GM

GN

=

4

3

，tan∠IFN=

AB

BF

=

4

3

，
∴∠INF=∠IFN，△INF為等腰三角形．
底邊NF上的高h(yuǎn)=

1

2

NF•tan∠INF=

1

2

×（t-7）×

4

3

=

2

3

（t-7）．
S_△INF=

1

2

NF•h=

1

2

×（t-7）×

2

3

（t-7）=

1

3

（t-7）²，
∴S=S_△QNE-S_△INF=

6

25

t²-

1

3

（t-7）²=-

7

75

t²+

14

3

t-

49

3

；
③當(dāng)10≤t＜

71

5

時(shí)，如答圖7所示：
由②得：S_△INF=

1

3

（t-7）²，
∴S=S_△GMN-S_△INF=24-

1

3

（t-7）²=-

1

3

t²+

14

3

t+

23

3

；

④當(dāng)

71

5

＜t≤16時(shí)，如答圖8所示：
FM=FE-ME=FE-（NE-MN）=17-t．
設(shè)GM與AF交于點(diǎn)I，過(guò)點(diǎn)I作IK⊥MN于點(diǎn)K．
∵tan∠IFK=

AB

BF

=

4

3

，∴可設(shè)IK=4x，F(xiàn)K=3x，則KM=3x+17-t．
∵tan∠IMF=

IK

KM

=

4x

3x+17-t

=

3

4

，解得：x=

3

7

（17-t）．
∴IK=4x=

12

7

（17-t）．
∴S=

1

2

FM•IK=

6

7

（t-17）²．
綜上所述，S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為：
S=

6 25 t2(0≤t＜7) - 7 75 t2+ 14 3 t- 49 3 (7≤t＜10) - 1 3 t2+ 14 3 t+ 23 3 (10＜t≤ 71 5 ) 6 7 (t-17)2( 71 5 ＜t≤16)

點(diǎn)評(píng)：本題是運(yùn)動(dòng)型綜合題，難度較大，解題關(guān)鍵是清楚理解圖形的運(yùn)動(dòng)過(guò)程．計(jì)算過(guò)程較為復(fù)雜，需要仔細(xì)認(rèn)真；第（2）（3）問(wèn)中，注意均需要分情況討論，分別計(jì)算，避免漏解．