【題目】閱讀下面材料,完成(1)﹣(3)題

數(shù)學(xué)課上,老師出示了這樣一道題:如圖,四邊形ABCD,ADBC,AB=ADE為對角線AC上一點,∠BEC=BAD=2DEC,探究ABBC的數(shù)量關(guān)系.

某學(xué)習(xí)小組的同學(xué)經(jīng)過思考,交流了自己的想法:

小柏:“通過觀察和度量,發(fā)現(xiàn)ACB=ABE”;

小源:“通過觀察和度量,AEBE存在一定的數(shù)量關(guān)系”;

小亮:“通過構(gòu)造三角形全等,再經(jīng)過進一步推理,就可以得到線段ABBC的數(shù)量關(guān)系”.

……

老師:“保留原題條件,如圖2, AC上存在點F,使DF=CF=AE,連接DF并延長交BC于點G,求的值”.

1)求證:ACB=ABE;

2)探究線段ABBC的數(shù)量關(guān)系,并證明;

3)若DF=CF=AE,求的值(用含k的代數(shù)式表示).

【答案】1)見解析;(2CB=2AB;(3

【解析】

1)利用平行線的性質(zhì)以及角的等量代換求證即可;

2)在BE邊上取點H,使BH=AE,可證明△ABH≌△DAE,△ABE∽△ACB,利用相似三角形的性質(zhì)從而得出結(jié)論;

(3)連接BDAC于點Q,過點AAKBD于點K,得出,通過證明△ADK∽△DBC得出∠BDC=AKD=90°,再證DF=FQ,設(shè)AD=a,因此有DF=FC=QF=ka,再利用相似三角形的性質(zhì)得出AC=3ka,,,從而得出答案.

解:(1)∵∠BAD=BEC

BAD=BAE+EAD

BEC=ABE+BAE

∴∠EAD=ABE

ADBC

∴∠EAD=ACB

∴∠ACB=ABE

2)在BE邊上取點H,使BH=AE

AB=AD

∴△ABH≌△DAE

∴∠AHB=AED

∵∠AHB+AHE=180°

AED+DEC=180°

∴∠AHE=DEC

∵∠BEC=2DEC

BEC=HAE+AHE

∴∠AHE=HAE

AE=EH

BE=2AE

∵∠ABE=ACB

BAE=CAB

∴△ABE∽△ACB

CB=2AB;

(3)連接BDAC于點Q,過點AAKBD于點K

AD=AB

AKD=90°

ADBC

∴∠ADK=DBC

∴△ADK∽△DBC

∴∠BDC=AKD=90°

DF=FC

∴∠FDC=DFC

∵∠BDC=90°

∴∠FDC+QDF=90°

DQF+DCF=90°

DF=FQ

設(shè)AD=a

DF=FC=QF=ka

ADBC

∴∠DAQ=QCB

ADQ=QBC

∴△AQD∽△CQB

AQ=ka=QF=CF

AC=3ka

∵△ABE∽△ACB

同理AFD∽△CFG

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