Question

如圖①，已知等腰梯形ABCD的周長為48，面積為S，AB∥CD，∠ADC=60°，設AB=3x．

（1）用x表示AD和CD；

（2）用x表示S，并求S的最大值；

（3）如圖②，當S取最大值時，等腰梯形ABCD的四個頂點都在⊙O上，點E和點F分別是AB和CD的中點，求⊙O的半徑R的值．

Answer 1

解：（1）作AH⊥CD于H，BG⊥CD于G，如圖①，

則四邊形AHGB為矩形，

∴HG=AB=3x，

∵四邊形ABCD為等腰梯形，

∴AD=BC，DH=CG，

在Rt△ADH中，設DH=t，

∵∠ADC=60°，

∴∠DAH=30°，

∴AD=2t，AH=t，

∴BC=2t，CG=t，

∵等腰梯形ABCD的周長為48，

∴3x+2t+t+3x+t+2t=48，解得t=8﹣x，

∴AD=2（8﹣x）=18﹣2x，

CD=8﹣x+3x+8﹣x=16+x；

（2）S=（AB+CD）•AH

=（3x+16+x）•（8﹣x）

=﹣2x²+8x+64，

∵S=﹣2（x﹣2）²+72，

∴當x=2時，S有最大值72；

（3）連結OA、OD，如圖②，

當x=2時，AB=6，CD=16+2=18，等腰梯形的高為×（8﹣2）=6，

則AE=3，DF=9，

∵點E和點F分別是AB和CD的中點，

∴直線EF為等腰梯形ABCD的對稱軸，

∴EF垂直平分AB和CD，EF為等腰梯形ABCD的高，即EF=6，

∴等腰梯形ABCD的外接圓的圓心O在EF上，

設OE=a，則OF=6﹣a，

在Rt△AOE中，

∵OE²+AE²=OA²，

∴a²+3²=R²，

在Rt△ODF中，

∵OF²+DF²=OD²，

∴（6﹣a）²+9²=R²，

∴a²+3²=（6﹣a）²+9²，解得a=5，

∴R²=（5）²+3²=84，

∴R=2．