Question

已知拋物線y=ax²+bx+c的開口方向和形狀都與拋物線y=

1

2

x²+3相同，它的對稱軸是直線x=-2，它與x軸兩個交點間的距離為2，求：
（1）一元二次方程ax²+bx+c=0的兩個根；
（2）該拋物線的解析式．

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點,待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式

專題：計算題

分析：（1）利用拋物線的對稱性由拋物線的對稱軸是直線x=-2，它與x軸兩個交點間的距離為2，可確定拋物線與x軸的交點坐標(biāo)為（-3，0）、（-1，0），
，然后根據(jù)拋物線與x軸的交點問題即可得到一元二次方程ax²+bx+c=0的兩個根；
（2）由于已知拋物線與x軸的交點坐標(biāo)，可是交點式，再根據(jù)拋物線y=ax²+bx+c的開口方向和形狀都與拋物線y=

1

2

x²+3相同得到a=

1

2

，從而即可得到所求拋物線的解析式．

解答：解：（1）∵拋物線的對稱軸是直線x=-2，它與x軸兩個交點間的距離為2，
∴拋物線與x軸的交點坐標(biāo)為（-3，0）、（-1，0），
∴一元二次方程ax²+bx+c=0的兩個根為x₁=-3，x₂=-1；
（2）設(shè)拋物線解析式為y=a（x+3）（x+1），
∵拋物線y=ax²+bx+c的開口方向和形狀都與拋物線y=

1

2

x²+3相同，
∴a=

1

2

，
∴拋物線解析式為y=

1

2

（x+3）（x+1）=

1

2

x²+2x+

3

2

．

點評：本題考查了拋物線與x軸的交點：求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標(biāo)，令y=0，即ax²+bx+c=0，解關(guān)于x的一元二次方程即可求得交點橫坐標(biāo)．二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的交點與一元二次方程ax²+bx+c=0根之間的關(guān)系：△=b²-4ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù)；△=b²-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b²-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b²-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．