Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線上，連接AD．
（1）求證：AD²-AB²=BD•CD；
（2）若點(diǎn)D在CB上，上述結(jié)論將會(huì)有什么變化，試證明你的新結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：勾股定理,等腰三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于E，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得BE=CE，利用勾股定理列式表示出DE²、CE²，然后相減即可得解；
（2）根據(jù)（1）的求解思路列式整理即可．

解答：（1）證明：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于E，
∵AB=AC，
∴BE=CE，
在Rt△ADE中，AD²-AE²=DE²，
在Rt△ACE中，AC²-AE²=CE²，
兩式相減得，AD²-AC²=DE²-CE²=（DE-CE）（DE+CE）=（DE-BE）CD=BD•CD，
即AD²-AB²=BD•CD；

（2）結(jié)論為：AC²-AD²=BD•CD．
證明如下：與（1）同理可得，AD²-AE²=DE²，AC²-AE²=CE²，
∵點(diǎn)D在CB上，
∴AB＞AD，
∴AC²-AD²=CE²-DE²=（CE-DE）（CE+DE）=（BE-DE）（CE+DE）=BD•CD，
即AC²-AD²=BD•CD．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．