Question

【題目】如圖，已知二次函數(shù)y=ax2﹣（2a﹣）x+3的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（4，0），與y軸交于點(diǎn)B．在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)C（m，0）（0＜m＜4），過點(diǎn)C作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)E，交該二次函數(shù)圖象于點(diǎn)D．

（1）求a的值和直線AB的解析式；

（2）過點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，設(shè)△ACE，△DEF的面積分別為S1，S2，若S1=4S2，求m的值；

（3）點(diǎn)H是該二次函數(shù)圖象上位于第一象限的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)G是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)四邊形DEGH是平行四邊形，且DEGH周長(zhǎng)取最大值時(shí)，求點(diǎn)G的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣；（2）m值為；（3）點(diǎn)G坐標(biāo)為（，）或（，）

【解析】

（1）把點(diǎn)A坐標(biāo)代入y=ax2﹣（2a﹣）x+3可求a，用待定系數(shù)法求直線AB的解析即可；（2）用含有m的代數(shù)式表示DE、AC的長(zhǎng)，易證△DEF∽△AEC，S1=4S2，得到DE與AE的數(shù)量關(guān)系可以構(gòu)造方程，解方程即可求得m的值；

（3）如圖，過點(diǎn)G做GM⊥DC于點(diǎn)M，用含有n的代數(shù)式表示GH，由平行四邊形性質(zhì)DE=GH，可得m，n之間數(shù)量關(guān)系，利用相似用GM表示EG，即可用含有m的代數(shù)式表示DEGH周長(zhǎng)，利用函數(shù)性質(zhì)求出周長(zhǎng)最大時(shí)的m值，可得n值，進(jìn)而求G點(diǎn)坐標(biāo)．

（1）把點(diǎn)A（4，0）代入，得0=a42﹣（2a﹣）×4+3，

解得a=﹣，

∴函數(shù)解析式為：y=；

設(shè)直線AB解析式為y=kx+b，

把A（4，0），B（0，3）代入得，

解得；

∴直線AB解析式為：y=﹣；

（2）由已知，點(diǎn)D坐標(biāo)為（m，﹣），點(diǎn)E坐標(biāo)為（m，﹣），

∴AC=4﹣m，DE=（﹣）﹣（﹣）=﹣，

∵BC∥y軸，

∴，

∴AE=，

∵∠DFA=∠DCA=90°，∠FBD=∠CEA，

∴△DEF∽△AEC；

∵S1=4S2，

∴AE=2DE，

∴，

解得m1=，m2=4（舍去），

故m值為；

（3）如圖，過點(diǎn)G做GM⊥DC于點(diǎn)M，

由（2）DE=﹣，同理HG=﹣；

∵四邊形DEGH是平行四邊形，

∴﹣=﹣，

整理得：（n﹣m）[]=0，

∵m≠n，

∴m+n=4，即n=4﹣m，

∴MG=n﹣m=4﹣2m

由已知△EMG∽△BOA，

∴，

∴EG=，

∴DEGH周長(zhǎng)L=2[﹣+]=﹣，

∵a=﹣＜0，

∴m=﹣時(shí)，L最大．

∴n=4﹣=，

∴G點(diǎn)坐標(biāo)為（，），此時(shí)點(diǎn)E坐標(biāo)為（，），

當(dāng)點(diǎn)G、E位置對(duì)調(diào)時(shí)，依然滿足條件，

∴點(diǎn)G坐標(biāo)為（，）或（，）