Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=4，點D是BC的中點，點E是邊AB上一動點，沿DE所在直線把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交AB于點F．若∠AB′F為直角，則AE的長為__________．

Answer 1

【答案】

【解析】

作EH⊥AB′交AB′的延長線于H．設AE=x．證明Rt△ADC≌Rt△ADB′（HL），得出AC=AB′=4，在Rt△EHB′中，B′H=B′E=（8-x），EH=B′H=

（8-x），在Rt△AEH中，由勾股定理得出方程，解方程即可．

解：作EH⊥AB′交AB′的延長線于H，連接AD．設AE=x．

在Rt△ABC中，，BC=4，AC=4，∴AB=8,tanB==

∴∠B=30°.

∵點D是BC的中點，∴BD=DC

由折疊的性質(zhì)，得BD= DB′.

∴CD=DB′，

∵AD=AD，
∴Rt△ADC≌Rt△ADB′（HL），
∴AC=AB′=4，
∵∠AB′E=∠AB′F+∠EB′F=90°+30°=120°，
∴∠EB′H=60°，
在Rt△EHB′中，B′H=B′E=（8-x），EH=B′H

（8-x），
在Rt△AEH中，∵EH2+AH2=AE2，
∴[（8-x）]2+[4+（8-x）]2=x2，
解得：x=.