Question

【題目】在平面直角坐標系中，直線 交x軸、y軸分別于點A、點B，將△AOB繞坐標原點逆時針旋轉 得到△COD.直線CD交直線AB于點E,如圖1.

圖1
（1）求：直線CD的函數(shù)關系式．
（2）如圖2，連接OE，過點O作 交直線CD于點F，如圖2.

圖2
① 求證： = ．
② 求：點F的坐標．
（3）若點P是直線DC上一點，點Q是x軸上一點（點Q不與點O重合），當△DPQ和△DOC全等時，直接寫出點P的坐標.

Answer 1

【答案】
（1）解： ，

令x=0,B(0,4),令y=0,A(3,0),則D(-4，0),C(0，

解設過D,C直線解析式是 ,

,

解得 ,

（2）解：① ,

，

△AOB旋轉了90°，所以 , ，

,

△DFO≌△BOE,可得OF=OE ,

∠OEF=45°.

②聯(lián)立 ，解得E( ，由①知，△DFO≌△BOE,

所以旋轉以后得F ( ).

（3）解：如圖，

與 CDO面積相等（也就是全等）滿足題意的三角形有三個，

在△ ,,D(-4,0)點是C(0,3)和 中點， , ,

所以有 ,

在 ,由題意知Q3,(1,0),OD=O ，勾股定理知，P3縱坐標 ，代入直線 ，得到P3（ ））

在 由題意知D(-4,0)是P1（x,y），P3（ ）中點, =-4, =0, ,

所以 ,

所以P的坐標是， ， ， .

【解析】（1）根據(jù)題意得到A、B兩點的坐標，由旋轉的性質，得到C、D的坐標，求出直線CD的函數(shù)關系式；（2）根據(jù)角的和差和旋轉的性質，得到△DFO≌△BOE，得到OF=OE，由OF⊥OE ，得到∠OEF=45°；聯(lián)立兩條直線，得到得到點E的坐標，由△DFO≌△BOE和旋轉的性質，得到點F的坐標；（3）根據(jù)題意得到與△CDO面積相等（也就是全等）滿足題意的三角形有三個，在△DP2Q2 中，得到D、C的坐標，求出P點坐標；在△DP3Q3中，根據(jù)勾股定理求出P點坐標；在△DP1Q1 中，根據(jù)題意求出P點坐標；此題是綜合題，難度較大，計算和解方程時需認真仔細.