【題目】如圖1,對于平面內(nèi)的點P和兩條曲線、給出如下定義:若從點P任意引出一條射線分別與、交于、,總有是定值,我們稱曲線與“曲似”,定值為“曲似比”,點P為“曲心”.
例如:如圖2,以點為圓心,半徑分別為、都是常數(shù)的兩個同心圓、,從點任意引出一條射線分別與兩圓交于點M、N,因為總有是定值,所以同心圓與曲似,曲似比為,“曲心”為.
在平面直角坐標系xOy中,直線與拋物線、分別交于點A、B,如圖3所示,試判斷兩拋物線是否曲似,并說明理由;
在的條件下,以O為圓心,OA為半徑作圓,過點B作x軸的垂線,垂足為C,是否存在k值,使與直線BC相切?若存在,求出k的值;若不存在,說明理由;
在、的條件下,若將“”改為“”,其他條件不變,當存在與直線BC相切時,直接寫出m的取值范圍及k與m之間的關(guān)系式.
【答案】(1)兩拋物線曲似,理由詳見解析;(2)存在k值,使與直線BC相切,;(3),.
【解析】
過點A、B作x軸的垂線,垂足分別為D、C,根據(jù)題意可得、、、,由知,據(jù)此可可解答;假設(shè)存在k值,使與直線BC相切,據(jù)此知,根據(jù)及對稱性可得答案;同理可得、、、,由切線性質(zhì)知,根據(jù)可得m的范圍,由可得k與m之間的關(guān)系式.
是,
過點A、B作x軸的垂線,垂足分別為D、C,
依題意可得、,
因此、,
軸、軸,
,
,
兩拋物線曲似,曲似比為;
假設(shè)存在k值,使與直線BC相切,
則,
又、,并且,
,
解得:負值舍去,
由對稱性可取,
綜上,;
根據(jù)題意得、,
因此、,
與直線BC相切,
,
由可得,
則,
由、,并且,
,
整理,得:.
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【題目】如圖,直線y=﹣x+2與反比例函數(shù)y=(k≠0)的圖象交于A(a,3),B(3,b)兩點,過點A作AC⊥x軸于點C,過點B作BD⊥x軸于點D.
(1)求a,b的值及反比例函數(shù)的解析式;
(2)若點P在直線y=﹣x+2上,且S△ACP=S△BDP,請求出此時點P的坐標;
(3)在x軸正半軸上是否存在點M,使得△MAB為等腰三角形?若存在,請直接寫出M點的坐標;若不存在,說明理由.
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【題目】如圖,已知正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過點A(﹣3,﹣3).
(1)求正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式;
(2)把直線OA向上平移后與反比例函數(shù)的圖象交于點B(﹣6,m),與x軸交于點C,求m的值和直線BC的表達式;
(3)在(2)的條件下,直線BC與y軸交于點D,求以點A,B,D為頂點的三角形的面積;
(4)在(3)的條件下,點A,B,D在二次函數(shù)的圖象上,試判斷該二次函數(shù)在第三象限內(nèi)的圖象上是否存在一點E,使四邊形OECD的面積S1與四邊形OABD的面積S滿足:S1=S?若存在,求點E的坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,等腰直角三角形中,,,點坐標為,點坐標為,且 ,滿足.
(1)寫出、兩點坐標;
(2)求點坐標;
(3)如圖,,為上一點,且,請寫出線段的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
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【題目】如圖1,Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,點D是BC邊的中點連接AD,則易證AD=BD=CD,即AD=BC;如圖2,若將題中AB=AC這個條件刪去,此時AD仍然等于BC.
理由如下:延長AD到H,使得AH=2AD,連接CH,先證得△ABD≌△CHD,此時若能證得△ABC≌△CHA,
即可證得AH=BC,此時AD=BC,由此可見倍長過中點的線段是我們?nèi)切巫C明中常用的方法.
(1)請你先證明△ABC≌△CHA,并用一句話總結(jié)題中的結(jié)論;
(2)現(xiàn)將圖1中△ABC折疊(如圖3),點A與點D重合,折痕為EF,此時不難看出△BDE和△CDF都是等腰直角三角形.BE=DE,CF=DF.由勾股定理可知DE2+DF2=EF2,因此BE2+CF2=EF2,若圖2中△ABC也進行這樣的折疊(如圖4),此時線段BE、CF、EF還有這樣的關(guān)系式嗎?若有,請證明;若沒有,請舉反例.
(3)在(2)的條件下,將圖3中的△DEF繞著點D旋轉(zhuǎn)(如圖5),射線DE、DF分別交AB、AC于點E、F,此時(2)中結(jié)論還成立嗎?請說明理由.圖4中的△DEF也這樣旋轉(zhuǎn)(如圖6),直接寫出上面的關(guān)系式是否成立.
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【題目】平面直角坐標系xOy中(如圖),已知拋物線y=ax2+bx+3與y軸相交于點C,與x軸正半軸相交于點A,OA=OC,與x軸的另一個交點為B,對稱軸是直線x=1,頂點為P.
(1)求這條拋物線的表達式和頂點P的坐標;
(2)拋物線的對稱軸與x軸相交于點M,求∠PMC的正切值;
(3)點Q在y軸上,且△BCQ與△CMP相似,求點Q的坐標.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,直線y=﹣x+2交x軸于點A,交y軸于點B.
(1)求∠OAB的度數(shù);
(2)點M是直線y=﹣x+2上的一個動點,且⊙M的半徑為2,圓心為M,判斷原點O與⊙M的位置關(guān)系,并說明理由;
(3)當⊙M與y軸相切時,直接寫出切點的坐標.
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【題目】已知:如圖,在長方形ABCD中,AB=4,AD=6.延長BC到點E,使CE=2,連接DE,動點P從點B出發(fā),以每秒2個單位的速度沿BC﹣CD﹣DA向終點A運動,設(shè)點P的運動時間為t秒,當t的值為_____秒時,△ABP和△DCE全等.
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【題目】如圖,在等邊△ABC中,點E在線段AC上,連接BE,點D在直線BC上,且CE=CD,連接ED、AD,點F是BE的中點,連接FA、FD.
(1)若CD=6,BC=10,求△BEC的面積;
(2)當AE=CE時,求證:AD=2AF.
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