【題目】如圖1,在平面直角坐標系中,開口向上的拋物線與軸交于兩點, 為拋物線的頂點, 為坐標原點,過點交拋物線于點. 的長分別是方程的兩根,且

1)求拋物線對應的二次函數(shù)解析式和點的坐標。

2)若點Mx軸正半軸上一個動點,N為線段AC上的一個動點,連接MN、CM,是否存在這樣的點M,使AMN為直角三角形和CMN為等腰三角形同時成立,如果存在,請求出所有符合條件的點M的坐標,如果不存在,請說明理由。

3如圖2,過點任作直線交線段于點到直線的距離分別為,請直接寫出的最大值.

1 2

【答案】(1);(2M111-6,0),M25,0);(3 4.

【解析】試題分析:1)通過解方程即可求得OAOB的長,從而得到點A、B的坐標,由于A、B關于拋物線的對稱軸對稱,且∠DAB=45°,那么DAB是等腰直角三角形,即可利用點A、B的坐標求得點D的坐標,然后根據(jù)待定系數(shù)法求得拋物線的解析式;由于ACAD,且∠DAB=45°,則∠CAB=45°,作CHx軸,設出點C的縱坐標,那么其橫坐標應為m-1,然后將C點坐標代入拋物線的解析式中,即可求得點C的坐標;

2分兩種情況:①∠AMN=90°②∠ANM=90°討論即可;

3)易得ACAD的長,由于ACD是直角三角形,那么ACAD=APd1+APd2,由此可得d1+d2=,過AAMCDM,利用ACD的面積可求得AM的長,在RtAPM中,AP≥AM,故d1+d2,而ACAD、AM的長都已求得,由此可確定d1+d2的最大值.

試題解析:(1)解方程x2-4x+3=0得:x=1x=3,而OAOB,

則點A地坐標為(—1,0),

B地坐標為(3,0),

A、B關于拋物線對稱軸對稱,

∴△DAB是等腰三角形,而∠DAB=45°

∴△DAB是等腰直角三角形,得D1-2),

令拋物線對應的二次函數(shù)解析式為y=ax-12-2

∵拋物線過點A,

0=4a-2,得a=

故拋物線對應的二次函數(shù)解析式為y= (x-1)2-2(或?qū)懗?/span>y=x2-x-,y= (x+1)(x—3));

CAAD,DAC=90°,又∵∠DAB=45°,

∴∠CAB=45°,

CHx軸,

CH=AH,

CH=AH=m,則OH=m-1,

C的坐標為(m-1,m),

代入拋物線解析式,解得:m1=6,m2=0(舍去)

故點C的坐標為(56);

2)由(1)得AC=6

①若∠AMN=90°,

則∠MNC=135°,

CN=MN,設MN=n,

MN=CN=n,AN=n,

n+n=6,n=12-6

M111-6,0.

②若∠ANM=90°

則∠MNC=90°,

MN=CN,則∠ACM=45°AMC=90°,

AM=CM=6,

OM=5

M25,0);

3AC=6AD=2,

DC==4;

AAMCD,

又∵AC×AD=DC×AM,

AM=,

又∵SADC=SAPD+SAPC

×AC×AD=AP×d1+AP×d2,

d1+d2==24×=4;

即此時d1+d2的最大值為4.

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(1)求拋物線的解析式;

(2)猜想EDB的形狀并加以證明;

(3)點M在對稱軸右側(cè)的拋物線上,點Nx軸上,請問是否存在以點A,F(xiàn),M,N為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,請求出所有符合條件的點M的坐標;若不存在,請說明理由.

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