【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形OABC的頂點A,C分別在x軸,y軸的正半軸上,且OA=4,OC=3,若拋物線經(jīng)過O,A兩點,且頂點在BC邊上,對稱軸交BE于點F,點D,E的坐標(biāo)分別為(3,0),(0,1).
(1)求拋物線的解析式;
(2)猜想△EDB的形狀并加以證明;
(3)點M在對稱軸右側(cè)的拋物線上,點N在x軸上,請問是否存在以點A,F(xiàn),M,N為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,請求出所有符合條件的點M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】(1)y=﹣x2+3x;(2)△EDB為等腰直角三角形;證明見解析;(3)(,2)或(,﹣2).
【解析】試題分析:(1)由條件可求得拋物線的頂點坐標(biāo)及A點坐標(biāo),利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式;
(2)由B、D、E的坐標(biāo)可分別求得DE、BD和BE的長,再利用勾股定理的逆定理可進(jìn)行判斷;
(3)由B、E的坐標(biāo)可先求得直線BE的解析式,則可求得F點的坐標(biāo),當(dāng)AF為邊時,則有FM∥AN且FM=AN,則可求得M點的縱坐標(biāo),代入拋物線解析式可求得M點坐標(biāo);當(dāng)AF為對角線時,由A、F的坐標(biāo)可求得平行四邊形的對稱中心,可設(shè)出M點坐標(biāo),則可表示出N點坐標(biāo),再由N點在x軸上可得到關(guān)于M點坐標(biāo)的方程,可求得M點坐標(biāo).
解:(1)在矩形OABC中,OA=4,OC=3,
∴A(4,0),C(0,3),
∵拋物線經(jīng)過O、A兩點,
∴拋物線頂點坐標(biāo)為(2,3),
∴可設(shè)拋物線解析式為y=a(x﹣2)2+3,
把A點坐標(biāo)代入可得0=a(4﹣2)2+3,解得a=﹣,
∴拋物線解析式為y=﹣(x﹣2)2+3,即y=﹣x2+3x;
(2)△EDB為等腰直角三角形.
證明:
由(1)可知B(4,3),且D(3,0),E(0,1),
∴DE2=32+12=10,BD2=(4﹣3)2+32=10,BE2=42+(3﹣1)2=20,
∴DE2+BD2=BE2,且DE=BD,
∴△EDB為等腰直角三角形;
(3)存在.理由如下:
設(shè)直線BE解析式為y=kx+b,
把B、E坐標(biāo)代入可得,解得,
∴直線BE解析式為y=x+1,
當(dāng)x=2時,y=2,
∴F(2,2),
①當(dāng)AF為平行四邊形的一邊時,則M到x軸的距離與F到x軸的距離相等,即M到x軸的距離為2,
∴點M的縱坐標(biāo)為2或﹣2,
在y=﹣x2+3x中,令y=2可得2=﹣x2+3x,解得x=,
∵點M在拋物線對稱軸右側(cè),
∴x>2,
∴x=,
∴M點坐標(biāo)為(,2);
在y=﹣x2+3x中,令y=﹣2可得﹣2=﹣x2+3x,解得x=,
∵點M在拋物線對稱軸右側(cè),
∴x>2,
∴x=,
∴M點坐標(biāo)為(,﹣2);
②當(dāng)AF為平行四邊形的對角線時,
∵A(4,0),F(xiàn)(2,2),
∴線段AF的中點為(3,1),即平行四邊形的對稱中心為(3,1),
設(shè)M(t,﹣t2+3t),N(x,0),
則﹣t2+3t=2,解得t=,
∵點M在拋物線對稱軸右側(cè),
∴x>2,
∵t>2,
∴t=,
∴M點坐標(biāo)為(,2);
綜上可知存在滿足條件的點M,其坐標(biāo)為(,2)或(,﹣2).
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【題目】近幾年,移動電商發(fā)展迅速,以下是2017年某調(diào)查機構(gòu)發(fā)布的相關(guān)的統(tǒng)計表和統(tǒng)計圖的一部分。請根據(jù)以上信息解答下列問題:
(1)2017年10月“移動電商行業(yè)用戶規(guī)!笔___________億臺(結(jié)果精確到0.1億臺);并補全條形統(tǒng)計圖;
(2)2017年10—12這三個月“移動電商行業(yè)用戶規(guī)!北壬蟼月增長臺數(shù)的平均數(shù)為___________億臺,若按此平均數(shù)增長,請你估計2018年1月“移動電商行業(yè)用戶規(guī)!睘___________億臺(結(jié)果精確到0.1億臺);
(3)2017年某電商在雙十一共售出手機12000臺,則C品牌手機售出的臺數(shù)是___________.
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【題目】計算:
(1)+3+(-5)
(2)-89-11
(3)(﹣5.5)+(﹣3.2)﹣(﹣2.5)﹣4.8
(4)17﹣(﹣8)×(﹣2)+4×(﹣3)
(5)(-32)-[5-(+3)+(-5)+(-2)]
(6)()×(﹣12)
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【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=∠ADC=90°,對角線AC,BD交于點O,DE平分∠ADC交BC于點E,連接OE.
(1)求證:四邊形ABCD是矩形;
(2)若AB=2,求△OEC的面積.
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【題目】如圖①,四邊形ABCD是正方形,點G是BC上任意一點,DE⊥AG于點E,BF⊥AG于點F.
(1)求證:DEBF=EF;
(2)若點G為CB延長線上一點,其余條件不變。請你在圖②中畫出圖形,寫出此時DE、BF、EF之間的數(shù)量關(guān)系(不需要證明);
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,D為AC上一點,連接BD,DF⊥BD交AB于點F,△BDF的外接圓⊙O與邊BC相較于點M,與AC相切于點D。過點M作AB的垂線交BD于點E,交⊙O于點N,交AB于點H,連接FN.
(1)求證:BD平分∠ABC;
(2)連接FM與BD相交于點K,求證:MK=ME;
(3)若AF=1,tan∠N=,求BE的長.
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【題目】花果山是旅游勝地,據(jù)統(tǒng)計2014年9月30日花果山旅游人數(shù)為2萬人, 十· 一黃金周期間,花果山7天中每天旅游人數(shù)的變化情況如下表(正數(shù)表示比9月30日多的人數(shù),負(fù)數(shù)表示比9月30日少的人數(shù)):
(1)請判斷7天內(nèi)游客人數(shù)量最多和最少的各是哪一天?它們相差多少萬人?
(2)求這7天去花果山旅游的總?cè)藬?shù).
(3)如果去花果山旅游平均每人消費300元,求風(fēng)景區(qū)在此7天內(nèi)的總收入.
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【題目】如圖,在正方形ABCD中,AB=3 cm,動點M自點A出發(fā)沿AB方向以1 cm/s的速度運動,同時點N自D點出發(fā)沿折線DC—CB以2 cm/s的速度運動,到達(dá)點B時運動同時停止,設(shè)△AMN的面積為y(單位:cm2),運動時間為x(單位:s),則下列圖象中能大致反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的是( )
A. B. C. D.
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【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,開口向上的拋物線與軸交于兩點, 為拋物線的頂點, 為坐標(biāo)原點,過點作交拋物線于點. 若的長分別是方程的兩根,且
(1)求拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)解析式和點的坐標(biāo)。
(2)若點M為x軸正半軸上一個動點,N為線段AC上的一個動點,連接MN、CM,是否存在這樣的點M,使△AMN為直角三角形和△CMN為等腰三角形同時成立,如果存在,請求出所有符合條件的點M的坐標(biāo),如果不存在,請說明理由。
(3如圖2,過點任作直線交線段于點求到直線的距離分別為,請直接寫出的最大值.
圖1 圖2
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