Question

【題目】如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A，B，與y軸交于點(diǎn)C，其中點(diǎn)A在y軸的左側(cè)，點(diǎn)C在x軸的下方，且OA=OC=5．

（1）求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；
（2）點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PB+PC的值最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在（2）條件下，點(diǎn)E為拋物線的對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)P、E、F為頂點(diǎn)作四邊形PEFM，當(dāng)四邊形PEFM為正方形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意，可得A（﹣5，0），C（0，﹣5）．

∵拋物線y=x2+bx+c過(guò)點(diǎn)A，點(diǎn)C，

∴ ，

解得 ，

∴拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y=x2+4x﹣5；

（2）解：∵y=x2+4x﹣5=（x+2）2﹣9，

∴對(duì)稱軸是直線x=﹣2．

∵拋物線y=x2+4x﹣5與x軸交于點(diǎn)A，B，

∴點(diǎn)A，B關(guān)于直線x=﹣2對(duì)稱．

連結(jié)AC，交對(duì)稱軸于點(diǎn)P，此時(shí)PB+PC的值最�。�

設(shè)直線AC的解析式為y=mx+n，

則 ，解得 ，

∴直線AC的解析式為y=﹣x﹣5，

當(dāng)x=﹣2時(shí)，y=﹣3，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣2，﹣3）

（3）解：在（2）條件下，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣2，﹣3）．

設(shè)F（x，x2+4x﹣5），

∵四邊形PEFM為正方形，

∴E（﹣2，x2+4x﹣5），M（x，﹣3），PM=PE，

∴|x+2|=|x2+4x﹣5+3|，

∴x2+4x﹣2=x+2，或x2+4x﹣2=﹣x﹣2，

整理得x2+3x﹣4=0，或x2+5x=0，

解得x1=﹣4，x2=1，x3=0，x4=﹣5，

∴M（﹣4，﹣3）或M（1，﹣3）或M（0，﹣3）或M（﹣5，﹣3）

【解析】（1）由題意，可得A（﹣5，0），C（0，﹣5）．把點(diǎn)A，C的坐標(biāo)代入y=x2+bx+c，得到關(guān)于b、c的二元一次方程組，解方程組即可求出拋物線的函數(shù)解析式；（2）利用配方法求出拋物線的對(duì)稱軸是直線x=﹣2．由拋物線y=x2+4x﹣5與x軸交于點(diǎn)A，B，得出點(diǎn)A，B關(guān)于直線x=﹣2對(duì)稱．連結(jié)AC，交對(duì)稱軸于點(diǎn)P，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知此時(shí)PB+PC的值最�。�利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式為y=﹣x﹣5，把x=﹣2代入，求出y=﹣3，進(jìn)而得出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在（2）條件下，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣2，﹣3）．設(shè)F（x，x2+4x﹣5），根據(jù)正方形的性質(zhì)可得E（﹣2，x2+4x﹣5），M（x，﹣3），PM=PE，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式列出方程|x+2|=|x2+4x﹣5+3|，解方程即可求解．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減小；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．