Question

【題目】在數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中,小明進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動(dòng),將邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD與邊長(zhǎng)為2的正方形AEFG按圖1位置放置，AD與AE在同一直線(xiàn)上，AB與AG在同一直線(xiàn)上.連接DG,BE,易得DG=BE且DG⊥BE（不需要說(shuō)明理由）

(1)如圖2，小明將正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為（30﹤﹤180）

①連接DG,BE,求證：DG=BE且DG⊥BE；

②在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，如圖3，連接BG,GE,ED,DB,求出四邊形BGED面積的最大值.

(2)如圖4，分別取BG,GE,ED,DB的中點(diǎn)M,N,P,Q,連接MN,NP,PQ,QM,則四邊形MNPQ的形狀為 ，四邊形MNPQ面積的最大值是 ,

Answer 1

【答案】(1)①證明見(jiàn)解析;②四邊形BGED面積的最大值為6+4;（2）正方形,3+2.

【解析】

（1）①由四邊形ABCD與四邊形AEFG為正方形，利用正方形的性質(zhì)得到兩對(duì)邊相等，且?jiàn)A角相等，利用SAS得到三角形ADG與三角形ABE全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)角相等得DG=BE，∠AGD=∠AEB，如圖所示，EB交AG于點(diǎn)H，利用等角的余角相等得到∠GMH =90°，利用垂直的定義即可得DG⊥BE；

②根據(jù)①可知旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，DG=BE且DG⊥BE；當(dāng)BE取得最大值，即點(diǎn)A,B,E在同一條直線(xiàn)上時(shí)，四邊形BGED面積有最大值.

(2)根據(jù)中點(diǎn)四邊形的性質(zhì)可知四邊形MNPQ是正方形，邊長(zhǎng)的最大值為

四邊形MNPQ面積的最大值是：

(1) ①∵四邊形ABCD和四邊形AEFG都為正方形，

∴AD=AB,∠DAB=∠GAE=，AG=AE，

∠DAB+∠GAB=∠GAB +∠GAE

∠DAG=∠BAE

在△ADG和△ABE中，

∴△ADG≌△ABE(SAS)，

∴∠AGD=∠AEB，DG=BE,

如圖所示，EB交AG于點(diǎn)H，

在△AEH中,∠AEH+∠AHE=，

∠AEH=∠BHG,

∴∠AGD+∠BHG=，

在△HGM中, ∠AGD+∠BHG +∠GMH=，

∴∠GMH=，

則DG⊥BE；

②根據(jù)①可知旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，DG=BE且DG⊥BE；

當(dāng)BE取得最大值，即點(diǎn)A,B,E在同一條直線(xiàn)上時(shí)，四邊形BGED面積有最大值.

此時(shí)：DG=BE

四邊形BGED面積

(2)連接BE,DG，

根據(jù)中位線(xiàn)的性質(zhì)可得

,,

四邊形MNPQ是正方形，邊長(zhǎng)的最大值為

四邊形MNPQ面積的最大值是：

故答案為：正方形,3+2.