Question

如圖，E、F、G、H分別是矩形ABCD四邊AB、BC、CD、AD的中點(diǎn)，
（1）四邊形EFGH是什么四邊形？為什么？
（2）當(dāng)矩形ABCD的對角線滿足什么條件時，四邊形EFGH是正方形？證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：中點(diǎn)四邊形

專題：

分析：（1）根據(jù)矩形ABCD中，E、F、G、H分別是AD、AB、BC、CD的中點(diǎn)，利用三角形中位線定理求證EF=GH=FG=EH，然后利用四條邊都相等的平行四邊形是菱形即可判定；
（2）根據(jù)正方形的判定定理直接寫出答案即可．

解答：解：（1）四邊形EFGH是菱形．
連接BD，AC．
∵矩形ABCD中，E、F、G、H分別是AD、AB、BC、CD的中點(diǎn)，
∴AC=BD，
∵EF為△ABD的中位線，
∴EF=

1

2

BD，EF∥BD，
又GH為△BCD的中位線，
∴GH=

1

2

BD，GH∥BD，
同理FG為△ABC的中位線，∴FG=

1

2

AC，F(xiàn)G∥AC，
EH為△ACD的中位線，∴EH=

1

2

AC，EH∥AC，
∴EF=GH=FG=EH，
∴四邊形EFGH是菱形；

（2）當(dāng)對角線AC⊥BD時，四邊形EFGH為正方形；
∵當(dāng)AC⊥BD時，EF⊥EH，
∴菱形EFGH為正方形．

點(diǎn)評：此題主要考查學(xué)生對菱形的判定、三角形中位線定理、和矩形的性質(zhì)的理解和掌握，證明此題的關(guān)鍵是熟練的利用三角形中位線定理，難度不大．