Question

【題目】已知關(guān)于x的方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）=0
（1）求證：方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）設(shè)方程的兩根分別為x1、x2 ， 求x +x 的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵△=[﹣（2m+1）]2﹣4m（m+1）=1＞0，

∴方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

（2）解：∵方程的兩根分別為x1、x2，

∴x1+x2=2m+1，x1x2=m（m+1），

∴ + = ﹣2x1x2=（2m+1）2﹣2m（m+1）=2m2+2m+1=2 + ，

∴ + 的最小值為

【解析】（1）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，即可得出△=1＞0，由此即可證出方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得x1+x2=2m+1、x1x2=m（m+1），利用配方法可將 + 變形為 ﹣2x1x2 ， 代入數(shù)據(jù)即可得出 + =2 + ，進(jìn)而即可得出 + 的最小值．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了求根公式和根與系數(shù)的關(guān)系的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握根的判別式△=b2-4ac，這里可以分為3種情況：1、當(dāng)△>0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根2、當(dāng)△=0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)相同的實(shí)數(shù)根3、當(dāng)△<0時(shí)，一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根；一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系數(shù)a、b、c而定；兩根之和等于方程的一次項(xiàng)系數(shù)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項(xiàng)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商才能正確解答此題．