Question

【題目】在Rt△ABC中，∠B＝90°，點(diǎn)F在邊BC上，tan∠FAC＝，點(diǎn)E為斜邊AC上一動(dòng)點(diǎn)，ED⊥AB于點(diǎn)D，交AF于點(diǎn)G．

（1）如圖1，求證：；

（2）如圖1，若AB＝2DE，求證：BF+AD＝2GE；

（3）如圖2，若AB＝DE＝4，AD＝3，直接寫(xiě)出FC的長(zhǎng)　 　．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）

【解析】

（1）由題意可得DE∥BC，可得△ADG∽△ABF，△AGE∽△AFC，由相似三角形性質(zhì)可得，，可得結(jié)論；

（2）在DB上截取DM＝BF，連接EM交AF于點(diǎn)N，通過(guò)證明△ABF∽△EDM，可得∠DME＝∠AFB，∠BAF＝∠DEM，可證∠ANE＝90°，通過(guò)證明△AMN∽△EGN，可得，由線段的和差關(guān)系，可得結(jié)論；

（3）過(guò)點(diǎn)F作FM⊥AC于點(diǎn)M，由勾股定理可求AE＝5，由題意可證△ADE∽△ABC，可得＝，可求AC，BC的長(zhǎng)，由銳角三角函數(shù)可求AM＝2FM，MC＝FM，即可求FM的長(zhǎng)，由勾股定理可求FC的長(zhǎng)．

（1）∵ED⊥AB，

∴∠ADE＝90°，

∵∠B＝90°，

∴∠B＝∠ADE，

∴DE∥BC，

∴△ADG∽△ABF，△AGE∽△AFC

∴，，

∴．

∴．

（2）如圖，在DB上截取DM＝BF，連接EM交AF于點(diǎn)N，

∵AB＝2DE，DM＝BF，

∴＝，且∠ABF＝∠EDM＝90°

∴△ABF∽△EDM

∴∠DME＝∠AFB，∠BAF＝∠DEM

∵∠BAF+∠AFB＝90°

∴∠BAF+∠DME＝90°

∴∠ANE＝90°，

∵tan∠FAC＝＝

∵∠ANM＝∠ANE，∠BAF＝∠DEM

∴△AMN∽△EGN

∴

∴AM＝2GE，且AM＝AD+DM＝AD+BF

∴BF+AD＝2GE；

（3）如圖，過(guò)點(diǎn)F作FM⊥AC于點(diǎn)M，

∵AD＝3，DE＝4，AD⊥DE

∴AE＝5，

∵DE∥BC

∴△ADE∽△ABC

∴＝

即＝

∴AC＝，BC＝

∵tan∠FAC＝＝

∴AM＝2FM，

∵tan∠C＝

∴

∴MC＝FM

∵AM+MC＝AC

∴2FM+FM＝

∴FM＝2，

∴MC＝

∴FC＝＝

故答案為：