Question

20．如圖1，在等腰直角△ABC和等腰直角△CDE中，∠ABC，∠CDE是直角，連接BD，點(diǎn)F在AE上且∠FBD=45°，AB=2，CD=1．
（1）求證：AF=FE；
（2）若將等腰直角CDE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一個(gè)a（0°＜a≤90°）角，其它條件不變，如圖2，求$\frac{AF}{FE}$的值；
（3）在（2）的條件下，再將等腰直角△CDE沿直線BC右移k個(gè)單位，其它條件不變，如圖3，試求$\frac{AF}{FE}$的值（用含k的代數(shù)式表示）

Answer 1

分析 （1）由輔助線得到BD=GD，再判斷出△ABF≌△EGF，△ABF≌△EGF即可；
（2）由輔助線得到BD=GD，再判斷出△ABF≌△EGF，△ABF≌△EGF即可；
（3）由輔助線得到BD=GD，再判斷出△BC₁D≌△GED，從而得出△ABF∽△EGF即可．

解答 解：（1）證明：過(guò)D作DG垂直于BD交BF的延長(zhǎng)線于G，連結(jié)EG
∵∠FBD=45°，
∴△BDG為等腰直角三角形，
∴BD=GD，
∵∠BDC=90°-∠BDE=∠GDE，CD=ED，
∴△BCD≌△GED，
∴BC=GE，∠DBC=∠DGE，
∴AB=BC=EG，∠ABF=45°-∠DBC=45°-∠DGE=∠EGF，
∴△ABF≌△EGF，
∴AF=EF，
即AF=FE．
（2）$\frac{AF}{EF}$=1．
如圖2

過(guò)D作DG垂直于BD交BF的延長(zhǎng)線于G，連結(jié)EG，
∵∠FBD=45°，
∴△BDG為等腰直角三角形，
∴BD=GD，
又∵∠BDC=90°-∠BDE=∠GDE，CD=ED，
∴△BCD≌△GED，
∴BC=GE，∠DBC=∠DGE，
∴AB=BC=EG，∠ABF=45°-∠DBC=45°-∠DGE=∠EGF，
∴△ABF≌△EGF，
∴AF=EF，
即AF=FE．
∴$\frac{AF}{EF}$=1．
（3）$\frac{AF}{EF}=\frac{2}{k+2}$．
如圖3，

過(guò)D作DG垂直于BD交BF的延長(zhǎng)線于G，連結(jié)EG
∵∠FBD=45°，
∴△BDG為等腰直角三角形，
∴BD=GD，
∵∠BDC=90°-∠BDE=∠GDE，C₁D=ED，
∴△BC₁D≌△GED，
∵BC₁=GE，∠ABF=45°-∠DBC=45°-∠DGE=∠EGF，
∴△ABF∽△EGF，
∴$\frac{AF}{EF}=\frac{AB}{EG}$，
∵AB=2，BC₁=k+2，
$\frac{AF}{EF}=\frac{AB}{EG}$=$\frac{2}{k+2}$．

點(diǎn)評(píng) 此題是幾何變換綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的全等的判定和性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，作出輔助線，判斷出三角形相似是解本題的關(guān)鍵．