Question

8．【特例發(fā)現(xiàn)】如圖1，在△ABC中，AG⊥BC于點G，以A為直角頂點，分別以AB，AC為直角邊，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，過點E、F作射線GA的垂線，垂足分別為P、Q．求證：EP=FQ．
【延伸拓展】如圖2，在△ABC中，AG⊥BC于點G，以A為直角頂點，分別以AB，AC為直角邊，向△ABC外作Rt△ABE和Rt△ACF，射線GA交EF于點H．若AB=kAE，AC=kAF，請思考HE與HF之間的數(shù)量關(guān)系，并直接寫出你的結(jié)論．
【深入探究】如圖3，在△ABC中，G是BC邊上任意一點，以A為頂點，向△ABC外作任意△ABE和△ACF，射線GA交EF于點H．若∠EAB=∠AGB，∠FAC=∠AGC，AB=kAE，AC=kAF，上一問的結(jié)論還成立嗎？并證明你的結(jié)論．
【應用推廣】在上一問的條件下，設(shè)大小恒定的角∠IHJ分別與△AEF的兩邊AE、AF分別交于點M、N，若△ABC為腰長等于4的等腰三角形，其中∠BAC=120°，且∠IHJ=∠AGB=θ=60°，k=2；
求證：當∠IHJ在旋轉(zhuǎn)過程中，△EMH、△HMN和△FNH均相似，并直接寫出線段MN的最小值（請在答題卡的備用圖中補全作圖）．

Answer 1

分析 特例發(fā)現(xiàn)：易證△AEP≌△BAG，△AFQ≌△CAG，即可求得EP=AG，F(xiàn)Q=AG，即可解題；
延伸拓展：②易證△ABG∽△EAP，△ACG∽△FAQ，得到PE=$\frac{1}{k}$AG，F(xiàn)Q=$\frac{1}{k}$AG，即可求解；
深入探究：判斷△PEA∽△GAB，得到PE=$\frac{1}{k}$AG，△AQF∽△CGA，F(xiàn)Q=，得到FQ=$\frac{1}{k}$AG，再判斷△EPH≌△FQH，即可；
應用推廣：由前一個結(jié)論得到△AEF為正三角形，再依次判斷△MHN∽△HFN∽△MEH，即可．

解答 ●特例發(fā)現(xiàn)
解：∵∠PEA+∠PAE=90°，∠GAB+∠PAE=90°，
∴∠PEA=∠GAB，
∵∠EPA=∠AGB，AE=AB，
∴△PEA≌△GAB，
∴PE=AG
同理，△QFA≌△GAC，
∴FQ=AG，
∴PE=FQ；
●延伸拓展
  
∵∠PEA+∠PAE=90°，∠GAB+∠PAE=90°，
∴∠PEA=∠GAB，
∴∠EPA=∠AGB，
∴△PEA∽△GAB，
∴$\frac{PE}{AG}$=$\frac{AE}{AB}$，
∵AB=kAE，
∴$\frac{PE}{AG}$=$\frac{AE}{kAE}$，
∴PE=$\frac{1}{k}$AG，
同理，△QFA∽△GAC，
∴$\frac{FQ}{AG}$=$\frac{AF}{AC}$，
∵AC=kAF，
∴FQ=$\frac{1}{k}$AG，
∴PE=FQ；
●深入探究
 如圖2，

在直線AG上取一點P，使得∠EPA═∠AGB，作FQ∥PE，
∵∠EAP+∠BAG=180°-∠AGB，
∠ABG+∠BAG=180°-∠AGB，
∴∠EAP=∠ABG，
∵∠EPA=∠AGB，
∴△APE∽△BGA，
∴$\frac{PE}{AG}$=$\frac{AE}{AB}$，
∵AB=kAE，
∴PE=$\frac{1}{k}$AG，
由于∠FQA=∠FAC=∠AGC=180°-∠AGB，
同理可得，△AQF∽△CGA，
∴$\frac{FQ}{AG}$=$\frac{AF}{AC}$，
∵AC=kAF，
∴FQ=$\frac{1}{k}$AG，
∴EP=FQ，
∵EP∥FQ，
∴∠EPH=∠FQH，
∵∠PHE=∠QHF，
∴△EPH≌△FQH，
∴HE=HF；
●應用推廣
如圖3，

在前面條件及結(jié)論，得到，點H是EF中點，
∴AE=AF，
∵∠EAB=∠AGB，∠FAC=∠AGC
∴∠EAB+∠FAC=180°
∴∠EAF=360°-（∠EAB+∠FAC）-∠BAC=60°，
∴△AEF為正三角形．
又H為EF中點，
∴∠EHM+∠IHJ=120°，∠IHJ+∠FHN=120°，
∴∠EHM=∠FHN．
∵∠AEF=∠AFE，
∴△HEM∽△HFN，
∴$\frac{HM}{HN}=\frac{EH}{FN}$，
∵EH=FH，
∴$\frac{HM}{HN}=\frac{FH}{FN}$，且∠MHN=∠HFN=60°，
∴△MHN∽△HFN，
∴△MHN∽△HFN∽△MEH，
在△HMN中，∠MHN=60°，
根據(jù)三角形中大邊對大角，
∴要MN最小，只有△HMN是等邊三角形，
∴∠AMN=60°，
∵∠AEF=60°，
MN∴MN∥EF，
∵△AEF為等邊三角形，
∴MN為△AEF的中位線，
∴MN_min=$\frac{1}{2}$EF=$\frac{1}{2}$×2=1．

點評 此題是幾何變換綜合題，主要考查全等三角形的性質(zhì)和判定相似三角形的判定和性質(zhì)，特殊三角形的性質(zhì)，根據(jù)條件判定三角形全等和相似是解本題的關(guān)鍵．