Question

【題目】如圖，A、B是函數(shù)y＝上兩點(diǎn)，P為一動(dòng)點(diǎn)，作PB∥y軸，PA∥x軸，下列說法：①△AOP≌△BOP；②S△AOP＝S△BOP；③若OA＝OB，則OP平分∠AOB；④若S△BOP＝2，則S△ABP＝4，正確有____（填序號(hào)）

Answer 1

【答案】②③④

【解析】

由點(diǎn)P是動(dòng)點(diǎn)，可判斷出①錯(cuò)誤，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，求出AP、BP的長(zhǎng)，再利用三角形面積公式計(jì)算即可判斷出②；利用角平分線定理的逆定理可判斷③；先求出矩形OMPN=2，進(jìn)而得出mn=4，最后用三角形的面積公式解答即可．

解：∵點(diǎn)P是動(dòng)點(diǎn)，

∴BP與AP不一定相等，

∴△BOP與△AOP不一定全等，故①不正確；

設(shè)P（m，n），

∵BP∥y軸，

∴B（m, ），A(，n)

∴AP=|-m|

∴S△AOP=·|6-m|n= |6-mn |

同理：S△BOP=·|-n|m= |6-mn |

∴S△AOP＝S△BOP；

故②正確；

如圖，過點(diǎn)P作PF⊥OA于F，PE⊥OB于E，

∴S△BOP=OB·PE，S△AOP=OA·PF

∵S△BOP =S△AOP

∴OB·PE= OA·PF

∵OA=OB，

∴PE=PF，

∵PE⊥OB，PF⊥OA

∴OP是∠AOB的平分線，故③正確；

如圖，延長(zhǎng)BP交x軸于N，延長(zhǎng)AP交軸于M，

∴AM⊥y軸，BN⊥x軸，

∴四邊形OMPN是矩形，

∵點(diǎn)A，B在雙曲線y=上，

∴S△AMO=S△ONB=3，

∵S△BOP=2，

∴S△PMO= S△PNO=1，

∴S矩形OMPN=2，

∴mn=2，

∴m=

∴，

∴故④正確；

故答案為②③④．