Question

5．如圖，電信部門(mén)計(jì)劃修建一條連接B、C兩地電纜，測(cè)量人員在山腳A處測(cè)得B、C兩處的仰角分別是37°和45°，在B處測(cè)得C處的仰角為67°．已知C地比A地髙330米（圖中各點(diǎn)均在同一平面內(nèi)），求電纜BC長(zhǎng)至少多少米？（精確到米，參考數(shù)據(jù)：sin37°≈$\frac{3}{5}$，tan37°≈$\frac{3}{4}$，sin67°≈$\frac{12}{13}$，tan67°≈$\frac{12}{5}$）

Answer 1

分析 過(guò)點(diǎn)C作經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的水平直線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為點(diǎn)D，CD交過(guò)點(diǎn)B的水平直線(xiàn)于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AD于點(diǎn)F，根據(jù)題意求出AD=CD，設(shè)AF=4x，利用正切的定義用x表示出BF，求出CE，根據(jù)正弦的定義列式計(jì)算即可．

解答 解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的水平直線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為點(diǎn)D，CD交過(guò)點(diǎn)B的水平直線(xiàn)于點(diǎn)E，
過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AD于點(diǎn)F，則CD=330米，
∵∠CAD=45°
∴∠ACD=45°
∴AD=CD=330米，
設(shè)AF=4x，則BF=AF•tan37°≈4x•$\frac{3}{4}$=3x（米）
FD=（330-4x）米，
由四邊形BEDF是矩形可得：BE=FD=（330-4x）米，ED=BF=3x米，
∴CE=CD-ED=（330-3x）米，
在Rt△BCE中，CE=BE•tan67°，
∴330-3x=（330-4x）×$\frac{12}{5}$，
解得x=70，
∴CE=330-3×70=120（米），
∴BC=$\frac{CE}{sin∠CBE}$=$\frac{120}{sin67°}$≈130（米）
答：電纜BC長(zhǎng)至少130米．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題，正確理解仰角俯角的概念、靈活運(yùn)用銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．