Question

17．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D為邊BC上任意一點，以直線AD為對稱軸，作Rt△ABC的軸對稱圖形Rt△AEF，點M、點N、點P、點Q分別為AB、BC、EF、EA的中點．
（1）求證：MN=PQ；
（2）如圖2，當BD=$\frac{1}{3}BC$時，判斷點M、點N、點P、點Q圍成的四邊形的形狀，并說明理由；
（3）若BC=6，請你直接寫出當①BD=3；②BD=6時，點M、點N、點P、點Q圍成圖形的形狀．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和三角形中位線定理證明即可；
（2）根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)得出MQ∥PN，再根據(jù)矩形的判定解答即可；
（3）直接寫出圖形的形狀即可．

解答 解：（1）∵△ABC與△AEF關于直線AD對稱，如圖1，

∴△ABC≌△AEF，
∴AC=AF，
∵點M、N、P、Q分別是AB、BC、EF、EA的中點，
∴MN、PQ分別是△ABC和△AEF的中位線，
∴MN=$\frac{1}{2}$AC，PQ=$\frac{1}{2}$AF，
∴MN=PQ；
（2）當BD=$\frac{1}{3}$BC時，點M、點N、點P、點Q圍成的四邊形是矩形．
連結BE、MN、PQ，如圖2，

∵點M、點Q是AB、AE的中點．
∴MQ∥BE且MQ=$\frac{1}{2}$BE，
∵點N是BC中點，
∴BN=$\frac{1}{2}$BC，
又∵BD=$\frac{1}{3}$BC，
∴DN=BN-BD=$\frac{1}{2}$BC-$\frac{1}{3}$BC=$\frac{1}{6}$BC，
∴$\frac{DN}{BD}=\frac{1}{2}$
∵點B與點E關于直線AD對稱，
∴BE⊥AD，
同理PN⊥AD，
∴BE∥PN，
∴△PDN∽△EDB，
∴$\frac{PN}{BE}=\frac{DN}{BD}=\frac{1}{2}$
∴PN∥BE，PN=$\frac{1}{2}$BE，
∴MQ∥PN且MQ=PN，
∴四邊形MQNP是平行四邊形，
∵MN=PQ，
∴四邊形MQNP是矩形．
（3）當BD=3時，圍成等腰三角形；
當BD=6時，圍成矩形．

點評 此題考查幾何變換問題，關鍵是根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)，以及相似三角形的性質(zhì)進行分析，同時利用矩形的判定解題．