【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)y=ax2+bx+2的圖象與x軸交于A(﹣3,0),B(1,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C.
(1)求這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系解析式;
(2)點(diǎn)P是直線AC上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn),是否存在點(diǎn)P,使△ACP的面積最大?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,說明理由;
(3)在平面直角坐標(biāo)系中,是否存在點(diǎn)Q,使△BCQ是以BC為腰的等腰直角三角形?若存在,直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,說明理由;
【答案】(1);(2)存在,點(diǎn)P,使△PAC的面積最大;(3)存在點(diǎn)Q,使△BCQ是以BC為腰的等腰直角三角形.Q點(diǎn)坐標(biāo)為:Q1(2,3),Q2(3,1),Q3(﹣1,﹣1),Q4(﹣2,1).
【解析】
(1)直接把點(diǎn)A(﹣3,0),B(1,0)代入二次函數(shù)y=ax2+bx+2求出a、b的值即可得出拋物線的解析式;
(2)設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(m,n),則n=﹣m2﹣m+2,連接PO,作PM⊥x軸于M,PN⊥y軸于N.根據(jù)三角形的面積公式得出△PAC的表達(dá)式,再根據(jù)二次函數(shù)求最大值的方法得出其頂點(diǎn)坐標(biāo)即可;
(3)以BC為邊,在線段BC兩側(cè)分別作正方形,正方形的其他四個(gè)頂點(diǎn)均可以使得“△BCQ是以BC為腰的等腰直角三角形”,因此有四個(gè)點(diǎn)符合題意要求,再過Q1點(diǎn)作Q1D⊥y軸于點(diǎn)D,過點(diǎn)Q2作Q2E⊥x軸于點(diǎn)E,根據(jù)全等三角形的判定定理得出△Q1CD≌△CBO,△CBO≌△BQ2E,故可得出各點(diǎn)坐標(biāo).
(1)∵拋物線y=ax2+bx+2過點(diǎn)A(﹣3,0),B(1,0),
∴
∴二次函數(shù)的關(guān)系解析式為y=﹣x2﹣x+2;
(2)存在.
∵如圖1所示,設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(m,n),則n=﹣m2﹣m+2.
連接PO,作PM⊥x軸于M,PN⊥y軸于N.
則PM=﹣m2﹣m+2.,PN=﹣m,AO=3.
∵當(dāng)x=0時(shí),y=﹣×0﹣×0+2=2,
∴OC=2,
∴S△PAC=S△PAO+S△PCO﹣S△ACO
=AOPM+COPN﹣AOCO
=×3×(﹣m2﹣m+2)+×2×(﹣m)﹣×3×2
=﹣m2﹣3m
∵a=﹣1<0
∴函數(shù)S△PAC=﹣m2﹣3m有最大值
∴當(dāng)m=﹣=﹣時(shí),S△PAC有最大值.
∴n=﹣m2﹣m+2=﹣×(﹣)2﹣×(﹣)+2=,
∴存在點(diǎn)P(﹣,),使△PAC的面積最大.
(3)如圖2所示,以BC為邊在兩側(cè)作正方形BCQ1Q2、正方形BCQ4Q3,則點(diǎn)Q1,Q2,Q3,Q4為符合題意要求的點(diǎn).過Q1點(diǎn)作Q1D⊥y軸于點(diǎn)D,過點(diǎn)Q2作Q2E⊥x軸于點(diǎn)E,
∵∠1+∠2=90°,∠2+∠3=90°,∠3+∠4=90°,
∴∠1=∠3,∠2=∠4,
在△Q1CD與△CBO中,
∵,
∴△Q1CD≌△CBO,
∴Q1D=OC=2,CD=OB=1,
∴OD=OC+CD=3,
∴Q1(2,3);
同理可得Q4(﹣2,1);
同理可證△CBO≌△BQ2E,
∴BE=OC=2,Q2E=OB=1,
∴OE=OB+BE=1+2=3,
∴Q2(3,1),
同理,Q3(﹣1,﹣1),
∴存在點(diǎn)Q,使△BCQ是以BC為腰的等腰直角三角形.Q點(diǎn)坐標(biāo)為:Q1(2,3),Q2(3,1),Q3(﹣1,﹣1),Q4(﹣2,1).
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(1)乙車的速度是 千米/時(shí),t= 小時(shí);
(2)求甲車距它出發(fā)地的路程y與它出發(fā)的時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量的取值范圍;
(3)直接寫出乙車出發(fā)多長時(shí)間兩車相距120千米.
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【題目】已知:如圖,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,點(diǎn)D、E分別是邊AB、BC的中點(diǎn),點(diǎn)F、G是邊AC的三等分點(diǎn),DF、EG的延長線相交于點(diǎn)H,連接HA、HC.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(1,1),B(4,0),C(4,4).
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②將△A1B1C1繞點(diǎn)B1逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到△A2B2C2.
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(3)若BC=EC= ,則= .(直接寫出結(jié)果即可)
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