【題目】如圖,在RtABC中,∠ACB90°,AB5,過點(diǎn)BBDAB,點(diǎn)CD都在AB上方,AD交△BCD的外接圓⊙O于點(diǎn)E

1)求證:∠CAB=∠AEC

2)若BC3

ECBD,求AE的長.

②若△BDC為直角三角形,求所有滿足條件的BD的長.

3)若BCEC ,則   .(直接寫出結(jié)果即可)

【答案】1)見解析;(2)①AE,②BD ;(3.

【解析】

1)利用圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)以及等角的余角相等的性質(zhì)易證明出結(jié)論成立;

2)延長ACBD于點(diǎn)F,利用平行線等分線段和相似三角形對應(yīng)邊成比例求解即可;

3)利用勾股定理和相似三角形分別求出AEBD的長,依據(jù)對應(yīng)邊等高三角形的面積比是對應(yīng)邊之比,進(jìn)而求解;

證明:(1)∵四邊形BCED內(nèi)接于⊙O

∴∠AEC=∠DBC

又∵DBAB

∴∠ABC+∠DBC90°

又∵∠ACB90°

∴在RtABC中,∠CAB+∠ABC90°

∴∠DBC=∠CAB

∴∠CAB=∠AEC

2)①如圖1延長ACBD于點(diǎn)F,延長ECAB于點(diǎn)G

∵在RtABC中,AB5BC3

∴由勾股定理得,AC4

又∵BCAF,ABBF

AFB=∠BFC

RtAFBRtBFC

BC2CFAC

9CF4,解得,CF

又∵ECBD

CGAB

ABCGACBC

5CG4×3,解得,CG

又∵在RtACG中,AG=

又∵ECDB

∴∠AEC=∠ADB

由(1)得,∠CAB=∠AEC

∴∠ADB=∠CAB

又∵∠ACB=∠DBA90°

RtABCRtDBA

AD

又∵EGBD

AE

②當(dāng)△BDC是直角三角形時,如圖二所示

∵∠BCD90°

BD為⊙O直徑

又∵∠ACB90°

A、C、D三點(diǎn)共線

BCAD時垂足為C,此時C點(diǎn)與E點(diǎn)重合.

又∵∠DAB=∠BAC,∠ACBABD90°

RtACBRtABD

AD

又∵在RtABD中,BD

③如圖三,由B、C、E都在⊙O上,且BCCE

∴∠ADC=∠BDC

DC平分∠ADB

CCMBD,CNAD,CHAB垂足分別為MN.,H

∵在RtACBAB5,BC

AC2

又∵在RtACBCHAB

ABCHACBC

5CH2×

解得,CH2

MB2

又∵DC平分∠ADB

CMCN

又∵在RtCHBBC5,CH2

HB1

CMCN1

又∵在△DCN與△DCM

∴△DCN與△DCMAAS

DNDM

設(shè)DNDMx

BDx+2ADx+

RtABD中由AB2+BD2AD2得,

25+(x+22=(x+2

解得,x

BDBM+MD2+

又由(1)得∠CAB=∠AEC,且∠ENC=∠ACB

∴△ENC∽△ACB

NE2

又∵在RtCANCN1,AC2

AN

AEAN+NE+2

又∵SBCDBDCMSACEAECN,CMCN

.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,4張如圖1的長為a,寬為bab)長方形紙片,按圖2的方式放置,陰影部分的面積為S1,空白部分的面積為S2,若S22S1,則a,b滿足(  )

A. aB. a2bC. abD. a3b

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在Rt△ABC中,點(diǎn)O在斜邊AB上,以O(shè)為圓心,OB為半徑作圓,分別與BC,AB相交于點(diǎn)D,E,連結(jié)AD.已知∠CAD=∠B,

(1)求證:AD是⊙O的切線.

(2)若BC=8,tanB=,求⊙O 的半徑.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)yax2+bx+2的圖象與x軸交于A(﹣3,0),B1,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C

1)求這個二次函數(shù)的關(guān)系解析式;

2)點(diǎn)P是直線AC上方的拋物線上一動點(diǎn),是否存在點(diǎn)P,使△ACP的面積最大?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,說明理由;

3)在平面直角坐標(biāo)系中,是否存在點(diǎn)Q,使△BCQ是以BC為腰的等腰直角三角形?若存在,直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,說明理由;

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某區(qū)2014教師招聘有拉開序幕,這給很多有志于教育事業(yè)的人員很多機(jī)會.下面是今年報考人數(shù)統(tǒng)計表(數(shù)學(xué))

招聘崗位

招聘計劃

報考人數(shù)

高中教師1

研究生

高中

數(shù)學(xué)

10

高中教師2

普通

高中

數(shù)學(xué)

19

初中教師

普通

初中

數(shù)學(xué)

12

55

小學(xué)教師1

普通

城區(qū)與八鎮(zhèn)

數(shù)學(xué)

18

83

小學(xué)教師2

普通

其他

數(shù)學(xué)

21

93

1)根據(jù)上表信息,請制作補(bǔ)完下面的扇形統(tǒng)計圖和上述表格.

2)錄取比例最小的是多少?最大的是多少?

3)如果是你(本科畢業(yè)),僅從錄取比例上看,你會選擇報考哪個崗位?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在△ABC中,BABC4,∠A30°,DAC上一動點(diǎn),

(Ⅰ)AC的長=_____

(Ⅱ)BD+DC的最小值是_____

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】現(xiàn)有四張質(zhì)地均勻,大小完全相同的卡片,在其正面分別標(biāo)有數(shù)字﹣1,﹣2,2,3,把卡片背面朝上洗勻,從中隨機(jī)抽出一張后,不放回,再從中隨機(jī)抽出一張,則兩次抽出的卡片所標(biāo)數(shù)字之和為正數(shù)的概率為( 。

A. B. C. D.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,一次函數(shù)ykx+b的圖象與反比例函數(shù)y的圖象交于二象限內(nèi)的A點(diǎn)和四象限內(nèi)的B點(diǎn),與x軸將于點(diǎn)C,連接AO,已知AO2,tanAOC,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(a,﹣4).

1)求此反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式;

2)根據(jù)圖象寫出使一次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值的x的取值范圍;

3)求△AOB的面積.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某校積極參與垃圾分類活動,以班級為單位收集可回收的垃圾,下面是七年級各班一周收集的可回收垃圾的質(zhì)量頻數(shù)表和頻數(shù)直方圖(每組含前一個邊界值,不含后一個邊界值).

某校七年級各班一周收集的可回收垃圾的質(zhì)量頻數(shù)表

組別(kg

頻數(shù)

4.0~4.5

2

4.5~5.0

a

5.0~5.5

3

5.5~6.0

1

1)求a的值;

2)已知收集的可回收垃圾以0.8/kg被回收,該年級這周收集的可回收垃圾被回收后所得的金額能否達(dá)到50.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案