【題目】已知,如圖,在△ABC中,D是BC邊上的一點(diǎn),E是AD的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線交與BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,且AF=DC,連結(jié)CF.
(1)求證:四邊形ADCF是平行四邊形;
(2)當(dāng)AB與AC有何數(shù)量關(guān)系時(shí),四邊形ADCF為矩形,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析,(2)當(dāng)AB=AC時(shí),四邊形ADCF為矩形,理由見(jiàn)解析.
【解析】試題(1)可證△AFE≌△DBE,得出AF=BD,進(jìn)而根據(jù)AF=DC,得出D是BC中點(diǎn)的結(jié)論;
(2)若AB=AC,則△ABC是等腰三角形,根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)知AD⊥BC;而AF與DC平行且相等,故四邊形ADCF是平行四邊形,又AD⊥BC,則四邊形ADCF是矩形.
試題解析:(1)證明:∵E是AD的中點(diǎn),
∴AE=DE.
∵AF∥BC,
∴∠FAE=∠BDE,∠AFE=∠DBE.
在△AFE和△DBE中, ,
∴△AFE≌△DBE(AAS).
∴AF=BD.
∵AF=DC,
∴BD=DC.
即:D是BC的中點(diǎn).
(2)AB=AC,理由如下:
∵AF=DC,AF∥DC,
∴四邊形ADCF是平行四邊形.
∵AB=AC,BD=DC,
∴AD⊥BC即∠ADC=90°.
∴平行四邊形ADCF是矩形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某公園準(zhǔn)備修建一塊長(zhǎng)方形草坪,長(zhǎng)為30米,寬為20米.并在草坪上修建如圖所示的十字路,已知十字路寬米,回答下列問(wèn)題:
(1)修建十字路的面積是多少平方米?
(2)草坪(陰影部分)的面積是多少?
(3)如果十字路寬2米,那么草坪(陰影部分)的面積是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,AC是⊙O的直徑,BC是⊙O的弦,點(diǎn)P是⊙O外一點(diǎn),連接PB、AB,∠PBA=∠C.
(1)求證:PB是⊙O的切線;
(2)連接OP,若OP∥BC,且OP=8,⊙O的半徑為2 ,求BC的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,甲、乙分別是4等分、3等分的兩個(gè)圓轉(zhuǎn)盤(pán),指針固定,轉(zhuǎn)盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)停止后,指針指向某一數(shù)字.
(1)直接寫(xiě)出轉(zhuǎn)動(dòng)甲盤(pán)停止后指針指向數(shù)字“1”的概率;
(2)小華和小明利用這兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)做游戲,兩人分別同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)甲、乙兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán),停止后,指針各指向一個(gè)數(shù)字,若兩數(shù)字之積為非負(fù)數(shù)則小華勝;否則,小明勝.你認(rèn)為這個(gè)游戲公平嗎?請(qǐng)你利用列舉法說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,將兩塊三角板的頂點(diǎn)重合.
(1)請(qǐng)寫(xiě)出圖中所有以點(diǎn)為頂點(diǎn)且小于平角的角;
(2)你寫(xiě)出的角中相等的角有________;
(3)若,試求的度數(shù);
(4)當(dāng)三角板繞點(diǎn)適當(dāng)旋轉(zhuǎn)(保持兩三角板有重合部分)時(shí),與之間具有怎樣的數(shù)量關(guān)系?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,小剛站在河邊的A點(diǎn)處,在河對(duì)面(小剛的正北方向)的B處有一電視塔,小剛想知道電線塔離他有多遠(yuǎn),于是他向正西走了20步到達(dá)一棵樹(shù)C處,接著繼續(xù)向前走了20步到達(dá)D處,然后他左轉(zhuǎn)90°直行,當(dāng)他看到的電線塔B,樹(shù)C和自己所處的位置E在一條直線上時(shí),他在整個(gè)步測(cè)過(guò)程中共走了100步.
(1)根據(jù)題意,畫(huà)出示意圖;
(2)如果小剛的一步大約有50cm長(zhǎng),請(qǐng)你估計(jì)小剛的初始位置A與電線塔B之間的距離,并說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(1)如圖1,EF∥AD,AD∥BC,CE平分∠BCF,∠DAC=120°,∠ACF=20°,求∠FEC的度數(shù);
(2)如圖2,AB∥CD,AB=CD,BF=DE,求證:∠AEF=∠CFB.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,AB邊上有一動(dòng)點(diǎn)P,連接PD,線段PD繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后,得到線段PE,且PE交BC于F,連接DF,過(guò)點(diǎn)E作EQ⊥AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q.
(1)求線段PQ的長(zhǎng);
(2)問(wèn):點(diǎn)P在何處時(shí),△PFD∽△BFP,并說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】閱讀材料,數(shù)學(xué)家高斯在上學(xué)時(shí)曾經(jīng)研究過(guò)這樣一個(gè)問(wèn)題,1+2+3+…+10=?經(jīng)過(guò)研究,這個(gè)問(wèn)題的一般性結(jié)論是1+2+3+…+n=n(n+1),其中n為正整數(shù),現(xiàn)在我們來(lái)研究一個(gè)類(lèi)似的問(wèn)題:1×2+2×3+…+ n(n+1)=?
觀察下面三個(gè)特殊的等式:
1×2=(1×2×3-0×1×2)
2×3=(2×3×4-1×2×3)
3×4=(3×4×5-2×3×4)
將這三個(gè)等式的兩邊相加,可以得到1×2+2×3+3×4=×3×4×5=20.
讀完這段材料,請(qǐng)你計(jì)算:
(1)1×2+2×3+…+100×101;
(2)1×2+2×3+…+ n(n+1);
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