Question

【題目】如圖，矩形中，，，點為中點，點為線段上一個動點，連接，將沿折疊得到，連接，，當為直角三角形時，的長為_____．

Answer 1

【答案】1或

【解析】

分兩種情況進行討論：當∠CFE=90°時，△ECF是直角三角形；當∠CEF=90°時，△ECF是直角三角形，分別根據(jù)直角三角形的勾股定理列方程求解即可．

分兩種情況討論：

①當∠CFE=90°時，△ECF是直角三角形，如圖1所示．由折疊可得：∠PFE=∠A=90°，AE=FE=DE，∴∠CFP=180°，即點P，F，C在一條直線上．

在Rt△CDE和Rt△CFE中，，∴Rt△CDE≌Rt△CFE（HL），∴CF=CD=4．

設(shè)AP=FP=x，則BP=4﹣x，CP=x+4．

在Rt△BCP中，BP2+BC2=PC2，即（4﹣x）2+62=（x+4）2，解得：x，即AP；

②當∠CEF=90°時，△ECF是直角三角形，如圖2所示，過F作FH⊥AB于H，作FQ⊥AD于Q，則∠FQE=∠D=90°．

又∵∠FEQ+∠CED=90°=∠ECD+∠CED，∴∠FEQ=∠ECD，∴△FEQ∽△ECD，∴，即，解得：FQ，QE，∴AQ=HF，AH，設(shè)AP=FP=x，則HPx．

∵Rt△PFH中，HP2+HF2=PF2，即（x）2+（）2=x2，解得：x=1，即AP=1．

綜上所述：AP的長為1或．