【題目】已知四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形,AC是⊙O的直徑,DE⊥AB,垂足為E.
(1)延長(zhǎng)DE交⊙O于點(diǎn)F,延長(zhǎng)DC,F(xiàn)B交于點(diǎn)P,如圖1.求證:PC=PB;
(2)過點(diǎn)B作BG⊥AD,垂足為G,BG交DE于點(diǎn)H,且點(diǎn)O和點(diǎn)A都在DE的左側(cè),如圖2.若AB= ,DH=1,∠OHD=80°,求∠BDE的大小.
【答案】(1)詳見解析;(2)∠BDE=20°.
【解析】
(1)根據(jù)已知條件易證BC∥DF,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠F=∠PBC;再利用同角的補(bǔ)角相等證得∠F=∠PCB,所以∠PBC=∠PCB,由此即可得出結(jié)論;(2)連接OD,先證明四邊形DHBC是平行四邊形,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得BC=DH=1,在Rt△ABC中,用銳角三角函數(shù)求出∠ACB=60°,進(jìn)而判斷出DH=OD,求出∠ODH=20°,再求得∠NOH=∠DOC=40°,根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得∠OAD=∠DOC=20°,最后根據(jù)圓周角定理及平行線的性質(zhì)即可求解.
(1)如圖1,∵AC是⊙O的直徑,
∴∠ABC=90°,
∵DE⊥AB,
∴∠DEA=90°,
∴∠DEA=∠ABC,
∴BC∥DF,
∴∠F=∠PBC,
∵四邊形BCDF是圓內(nèi)接四邊形,
∴∠F+∠DCB=180°,
∵∠PCB+∠DCB=180°,
∴∠F=∠PCB,
∴∠PBC=∠PCB,
∴PC=PB;
(2)如圖2,連接OD,
∵AC是⊙O的直徑,
∴∠ADC=90°,
∵BG⊥AD,
∴∠AGB=90°,
∴∠ADC=∠AGB,
∴BG∥DC,
∵BC∥DE,
∴四邊形DHBC是平行四邊形,
∴BC=DH=1,
在Rt△ABC中,AB=,tan∠ACB=,
∴∠ACB=60°,
∴BC=AC=OD,
∴DH=OD,
在等腰△DOH中,∠DOH=∠OHD=80°,
∴∠ODH=20°,
設(shè)DE交AC于N,
∵BC∥DE,
∴∠ONH=∠ACB=60°,
∴∠NOH=180°﹣(∠ONH+∠OHD)=40°,
∴∠DOC=∠DOH﹣∠NOH=40°,
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠DOC=20°,
∴∠CBD=∠OAD=20°,
∵BC∥DE,
∴∠BDE=∠CBD=20°.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=﹣(其中m>0)與x軸分別交于A,B兩點(diǎn)(A在B的右側(cè)),與y軸交于點(diǎn)c.
(1)求△AOC的周長(zhǎng),(用含m的代數(shù)式表示)
(2)若點(diǎn)P為直線AC上的一點(diǎn),且點(diǎn)P在第二象限,滿足OP2=PCPA,求tan∠APO的值及用含m的代數(shù)式表示點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)在(2)的情況下,線段OP與拋物線相交于點(diǎn)Q,若點(diǎn)Q恰好為OP的中點(diǎn),此時(shí)對(duì)于在拋物線上且介于點(diǎn)C與拋物線頂點(diǎn)之間(含點(diǎn)C與頂點(diǎn))的任意一點(diǎn)M(x0,y0)總能使不等式n≤及不等式2n﹣恒成立,求n的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC 中, AB=11 , AC= 5 ,∠ BAC 的平分線 AD 與邊 BC 的垂直平分線 CD 相 交于點(diǎn) D ,過點(diǎn) D 分別作 DE⊥AB ,DF⊥AC ,垂足分別為 E 、F ,則 BE 的長(zhǎng)為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一兒童服裝商店在銷售中發(fā)現(xiàn):某品牌童裝平均每天可售出20件,每件盈利40元.為了迎接“六·一”兒童節(jié),商店決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施,擴(kuò)大銷售量,增加盈利,盡快減少庫(kù)存.經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn):如果每件童裝降價(jià)1元,那么平均每天就可多售出2件.要想平均每天銷售這種童裝上盈利1200元,那么每件童裝應(yīng)降價(jià)多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在一張長(zhǎng)方形紙片ABCD中,AB=25cm,AD=20cm,現(xiàn)將這張紙片按下列圖示方法折疊,請(qǐng)解決下列問題.
(1)如圖(1),折痕為DE,點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F在CD上,求折痕DE的長(zhǎng);
(2)如圖(2),H,G分別為BC,AD的中點(diǎn),A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F在HG上,折痕為DE,求重疊部分的面積;
(3)如圖(3),在圖(2)中,把長(zhǎng)方形ABCD沿著HG對(duì)開,變成兩張長(zhǎng)方形紙片,按圖示方式將兩張紙片任意疊合后,判斷重疊四邊形的形狀,并證明;
(4)在(3)中,重疊四邊形的周長(zhǎng)是否存在最大值或最小值?如果存在,試求出來;如果不存在,試簡(jiǎn)要說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在矩形ABCD中,點(diǎn)E在BC上,AE=AD,DF⊥AE,垂足為F.
(1)求證.DF=AB;
(2)若∠FDC=30°,且AB=4,求AD.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在小明、小紅兩名同學(xué)中選拔一人參加2018年張家界市“經(jīng)典詩(shī)詞朗誦”大賽,在相同的測(cè)試條件下,兩人5次測(cè)試成績(jī)(單位:分)如下:
小明:80,85,82,85,83 小紅:88,79,90,81,72.
回答下列問題:
(1)求小明和小紅測(cè)試的平均成績(jī);
(2)求小明和小紅五次測(cè)試成績(jī)的方差.
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【題目】如圖,將ABCD的AD邊延長(zhǎng)至點(diǎn)E,使DE=AD,連接CE,F是BC邊的中點(diǎn),連接FD.
(1)求證:四邊形CEDF是平行四邊形;
(2)若AB=3,AD=4,∠A=60°,求CE的長(zhǎng).
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