【題目】已知矩形ABCD的一條邊AD=8,將矩形ABCD折疊,使得頂點B落在CD邊上的P點處
(1)如圖1,已知折痕與邊BC交于點O,連接AP、OP、OA.若△OCP與△PDA的面積比為1:4,求邊CD的長.
(2)如圖2,在(1)的條件下,擦去折痕AO、線段OP,連接BP.動點M在線段AP上(點M與點P、A不重合),動點N在線段AB的延長線上,且BN=PM,連接MN交PB于點F,作ME⊥BP于點E.試問當(dāng)動點M、N在移動的過程中,線段EF的長度是否發(fā)生變化?若變化,說明變化規(guī)律.若不變,求出線段EF的長度.
【答案】
(1)
解:如圖1
,
∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠C=∠D=90°,
∴∠1+∠3=90°,
∵由折疊可得∠APO=∠B=90°,
∴∠1+∠2=90°,
∴∠2=∠3,
又∵∠D=∠C,
∴△OCP∽△PDA;
∵△OCP與△PDA的面積比為1:4,
∴ ,
∴CP= AD=4,
設(shè)OP=x,則CO=8﹣x,
在Rt△PCO中,∠C=90°,
由勾股定理得 x2=(8﹣x)2+42,
解得:x=5,
∴AB=AP=2OP=10,
∴邊CD的長為10;
(2)
解:作MQ∥AN,交PB于點Q,如圖2,
∵AP=AB,MQ∥AN,
∴∠APB=∠ABP=∠MQP.
∴MP=MQ,
∵BN=PM,
∴BN=QM.
∵M(jìn)P=MQ,ME⊥PQ,
∴EQ= PQ.
∵M(jìn)Q∥AN,
∴∠QMF=∠BNF,
在△MFQ和△NFB中,
,
∴△MFQ≌△NFB(AAS).
∴QF= QB,
∴EF=EQ+QF= PQ+ QB= PB,
由(1)中的結(jié)論可得:PC=4,BC=8,∠C=90°,
∴PB= ,
∴EF= PB=2 ,
∴在(1)的條件下,當(dāng)點M、N在移動過程中,線段EF的長度不變,它的長度為2
【解析】(1)先證出∠C=∠D=90°,再根據(jù)∠1+∠3=90°,∠1+∠2=90°,得出∠2=∠3,即可證出△OCP∽△PDA;根據(jù)△OCP與△PDA的面積比為1:4,得出CP= AD=4,設(shè)OP=x,則CO=8﹣x,由勾股定理得 x2=(8﹣x)2+42 , 求出x,最后根據(jù)AB=2OP即可求出邊AB的長;(2)作MQ∥AN,交PB于點Q,求出MP=MQ,BN=QM,得出MP=MQ,根據(jù)ME⊥PQ,得出EQ= PQ,根據(jù)∠QMF=∠BNF,證出△MFQ≌△NFB,得出QF= QB,再求出EF= PB,由(1)中的結(jié)論求出PB= ,最后代入EF= PB即可得出線段EF的長度不變此題考查了相似形綜合,用到的知識點是相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì),關(guān)鍵是做出輔助線,找出全等和相似的三角形.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖是一個由5張紙片拼成的平行四邊形,相鄰紙片之間互不重疊也無縫隙,其中兩張等腰直角三角形紙片的面積都為S1 , 另兩張直角三角形紙片的面積都為S2 , 中間一張正方形紙片的面積為S3 , 則這個平行四邊形的面積一定可以表示為( )
A.4S1
B.4S2
C.4S2+S3
D.3S1+4S3
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點,點A的坐標(biāo)為(5,0),菱形OABC的頂點B,C都在第一象限,tan∠AOC= ,將菱形繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)角α(0°<∠α<∠AOC)得到菱形FADE(點O的對應(yīng)點為點F),EF與OC交于點G,連結(jié)AG.
(1)求點B的坐標(biāo).
(2)當(dāng)OG=4時,求AG的長.
(3)求證:GA平分∠OGE.
(4)連結(jié)BD并延長交x軸于點P,當(dāng)點P的坐標(biāo)為(12,0)時,求點G的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD是矩形,把矩形沿對角線AC折疊,點B落在點E處,CE與AD相交于點O.
(1)求證:△AOE≌△COD;
(2)若∠OCD=30°,AB=,求△AOC的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校組織初中2000名學(xué)生游覽“黃河口生態(tài)旅游區(qū)”,并以此開展“黃河文化”知識競賽活動,現(xiàn)從中隨機抽取若干名學(xué)生的得分滿分100分,成績均為正數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計,整理出下列競賽成績統(tǒng)計表和扇形統(tǒng)計圖均不完整.
成績統(tǒng)計表
如果成績在90分以上含90分可獲得一等獎;70分以上含70分,90分以下的可獲得二等獎;其余學(xué)生可獲得鼓勵獎,根據(jù)以上圖表的數(shù)據(jù)解答下列問題:
本次活動共隨機抽取了多少名學(xué)生?
估計本次活動獲得二等獎的學(xué)生有多少名?
繪制頻數(shù)分布直方圖.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知點A,C在EF上,AD∥BC,DE∥BF,AE=CF.
(1)求證:四邊形ABCD是平行四邊形;
(2)直接寫出圖中所有相等的線段(AE=CF除外).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一輛慢車與一輛快車分別從甲、乙兩地同時出發(fā),勻速相向而行,兩車在途中相遇后停留一段時間,然后分別按原速一同駛往甲地后停車。設(shè)慢車行駛的時間為x小時,兩車之間的距離為y千米,圖中折線表示y與x之間的函數(shù)圖象,請根據(jù)圖象解決下列問題:
(1)甲、乙兩地之間的距離為________千米;
(2)求快車和慢車的速度。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一輛客車從甲地開往乙地,車上原有(5a﹣2b)人,中途停車一次,有一些人下車,此時下車的人數(shù)比車上原有人數(shù)一半還多2人,同時又有一些上車,上車的人數(shù)比(7a﹣4b)少3人.
(1)用代數(shù)式表示中途下車的人數(shù);
(2)用代數(shù)式表示中途下車、上車之后,車上現(xiàn)在共有多少人?
(3)當(dāng)a=10,b=9時,求中途下車、上車之后,車上現(xiàn)在的人數(shù)?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若關(guān)于x的分式方程 無解,則m的值為_______.
【答案】-4,-6
【解析】試題分析:去分母得:x(m+2x)-2x(x-3)=2(x-3),
(m+4)x=-6,
當(dāng)m+4≠0時,
x=≠0,
∵分式方程無解,
∴x-3=-3=0,
解得:m=-6;
當(dāng)m+4=0即m=-4時,
整式方程無解,分式方程也無解,符合題意,
故m的值為-4或-6.
故答案為:-4或-6.
【題型】填空題
【結(jié)束】
19
【題目】計算:
(1) (2)
(3) (4)
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