【題目】已知矩形ABCD的一條邊AD=8,將矩形ABCD折疊,使得頂點B落在CD邊上的P點處

(1)如圖1,已知折痕與邊BC交于點O,連接AP、OP、OA.若△OCP與△PDA的面積比為1:4,求邊CD的長.
(2)如圖2,在(1)的條件下,擦去折痕AO、線段OP,連接BP.動點M在線段AP上(點M與點P、A不重合),動點N在線段AB的延長線上,且BN=PM,連接MN交PB于點F,作ME⊥BP于點E.試問當動點M、N在移動的過程中,線段EF的長度是否發(fā)生變化?若變化,說明變化規(guī)律.若不變,求出線段EF的長度.

【答案】
(1)

解:如圖1

,

∵四邊形ABCD是矩形,

∴∠C=∠D=90°,

∴∠1+∠3=90°,

∵由折疊可得∠APO=∠B=90°,

∴∠1+∠2=90°,

∴∠2=∠3,

又∵∠D=∠C,

∴△OCP∽△PDA;

∵△OCP與△PDA的面積比為1:4,

,

∴CP= AD=4,

設(shè)OP=x,則CO=8﹣x,

在Rt△PCO中,∠C=90°,

由勾股定理得 x2=(8﹣x)2+42

解得:x=5,

∴AB=AP=2OP=10,

∴邊CD的長為10;


(2)

解:作MQ∥AN,交PB于點Q,如圖2,

∵AP=AB,MQ∥AN,

∴∠APB=∠ABP=∠MQP.

∴MP=MQ,

∵BN=PM,

∴BN=QM.

∵MP=MQ,ME⊥PQ,

∴EQ= PQ.

∵MQ∥AN,

∴∠QMF=∠BNF,

在△MFQ和△NFB中,

,

∴△MFQ≌△NFB(AAS).

∴QF= QB,

∴EF=EQ+QF= PQ+ QB= PB,

由(1)中的結(jié)論可得:PC=4,BC=8,∠C=90°,

∴PB= ,

∴EF= PB=2 ,

∴在(1)的條件下,當點M、N在移動過程中,線段EF的長度不變,它的長度為2


【解析】(1)先證出∠C=∠D=90°,再根據(jù)∠1+∠3=90°,∠1+∠2=90°,得出∠2=∠3,即可證出△OCP∽△PDA;根據(jù)△OCP與△PDA的面積比為1:4,得出CP= AD=4,設(shè)OP=x,則CO=8﹣x,由勾股定理得 x2=(8﹣x)2+42 , 求出x,最后根據(jù)AB=2OP即可求出邊AB的長;(2)作MQ∥AN,交PB于點Q,求出MP=MQ,BN=QM,得出MP=MQ,根據(jù)ME⊥PQ,得出EQ= PQ,根據(jù)∠QMF=∠BNF,證出△MFQ≌△NFB,得出QF= QB,再求出EF= PB,由(1)中的結(jié)論求出PB= ,最后代入EF= PB即可得出線段EF的長度不變此題考查了相似形綜合,用到的知識點是相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì),關(guān)鍵是做出輔助線,找出全等和相似的三角形.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】如圖是一個由5張紙片拼成的平行四邊形,相鄰紙片之間互不重疊也無縫隙,其中兩張等腰直角三角形紙片的面積都為S1 , 另兩張直角三角形紙片的面積都為S2 , 中間一張正方形紙片的面積為S3 , 則這個平行四邊形的面積一定可以表示為( )

A.4S1
B.4S2
C.4S2+S3
D.3S1+4S3

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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,O為坐標原點,點A的坐標為(5,0),菱形OABC的頂點B,C都在第一象限,tan∠AOC= ,將菱形繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)角α(0°<∠α<∠AOC)得到菱形FADE(點O的對應(yīng)點為點F),EF與OC交于點G,連結(jié)AG.

(1)求點B的坐標.
(2)當OG=4時,求AG的長.
(3)求證:GA平分∠OGE.
(4)連結(jié)BD并延長交x軸于點P,當點P的坐標為(12,0)時,求點G的坐標.

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【題目】如圖,四邊形ABCD是矩形,把矩形沿對角線AC折疊,點B落在點E處,CE與AD相交于點O.

(1)求證:△AOE≌△COD;

(2)若∠OCD=30°,AB=,求△AOC的面積.

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【題目】某校組織初中2000名學(xué)生游覽黃河口生態(tài)旅游區(qū),并以此開展黃河文化知識競賽活動,現(xiàn)從中隨機抽取若干名學(xué)生的得分滿分100分,成績均為正數(shù)進行統(tǒng)計,整理出下列競賽成績統(tǒng)計表和扇形統(tǒng)計圖均不完整

成績統(tǒng)計表

如果成績在90分以上90可獲得一等獎;70分以上70,90分以下的可獲得二等獎;其余學(xué)生可獲得鼓勵獎,根據(jù)以上圖表的數(shù)據(jù)解答下列問題:

本次活動共隨機抽取了多少名學(xué)生?

估計本次活動獲得二等獎的學(xué)生有多少名?

繪制頻數(shù)分布直方圖.

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(2)直接寫出圖中所有相等的線段(AECF除外).

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1)甲、乙兩地之間的距離為________千米;

2)求快車和慢車的速度。

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(1)用代數(shù)式表示中途下車的人數(shù);

(2)用代數(shù)式表示中途下車、上車之后,車上現(xiàn)在共有多少人?

(3)當a=10,b=9時,求中途下車、上車之后,車上現(xiàn)在的人數(shù)?

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【答案】-4-6

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(m+4)x=-6,

m+4≠0時,

x≠0,

∵分式方程無解,

x330

解得:m=-6;

m+4=0m=-4時,

整式方程無解,分式方程也無解,符合題意,

m的值為-4-6.

故答案為:-4-6.

型】填空
結(jié)束】
19

【題目】計算:

1 (2)

(3) (4)

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