Question

【題目】如圖，已知拋物線與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)，且，．

求該拋物線的表達(dá)式；

設(shè)點(diǎn)為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M在曲線BA之間含端點(diǎn)移動(dòng)時(shí)，求的最大值及取得最大值時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】(1)拋物線解析式為；y＝x2﹣；(2)當(dāng)點(diǎn)M在曲線BA之間(含端點(diǎn))移動(dòng)時(shí)，M的坐標(biāo)為(，﹣)或(﹣，﹣)時(shí)，|m|+|n|的最大值為．

【解析】

（1）先求出A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，然后過(guò)點(diǎn)P作PC⊥x軸于點(diǎn)C，根據(jù)∠PBA＝120°，PB＝AB，分別求出BC和PC的長(zhǎng)度即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)，最后將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式即；

（2）根據(jù)題意可知：n＜0，然后對(duì)m的值進(jìn)行分類(lèi)討論，當(dāng)﹣2≤m≤0時(shí)，|m|＝﹣m；當(dāng)0＜m≤2時(shí)，|m|＝m，列出函數(shù)關(guān)系式即可求得|m|+|n|的最大值．

（1）如圖，令y＝0代入y＝ax2﹣4a，

∴0＝ax2﹣4a，

∵a＞0，

∴x2﹣4＝0，

∴x＝±2，

∴A（﹣2，0），B（2，0），

∴AB＝4，

過(guò)點(diǎn)P作PC⊥x軸于點(diǎn)C，

∴∠PBC＝180°﹣∠PBA＝60°，

∵PB＝AB＝4，

∴cos∠PBC＝，

∴BC＝2，

由勾股定理可求得：PC＝2，

∵OC＝OB+BC＝4，

∴P（4，2），

把P（4，2）代入y＝ax2﹣4a，

∴2＝16a﹣4a，

∴a＝，

∴拋物線解析式為：y＝x2﹣；

（2）當(dāng)點(diǎn)M在曲線BA之間（含端點(diǎn)）移動(dòng)時(shí)，

∴﹣2≤m≤2，n＜0，

當(dāng)﹣2≤m≤0時(shí)，

∴|m|+|n|＝﹣m﹣n＝﹣m2﹣m+＝﹣（m+）2+，

當(dāng)m＝﹣時(shí)，

∴|m|+|n|可取得最大值，最大值為，

此時(shí)，M的坐標(biāo)為（﹣，﹣），

當(dāng)0＜m≤2時(shí)，

∴|m|+|n|＝m﹣n＝﹣m2+m+＝﹣（m﹣）2+，

當(dāng)m＝時(shí)，

∴|m|+|n|可取得最大值，最大值為，

此時(shí)，M的坐標(biāo)為（，﹣），

綜上所述，當(dāng)點(diǎn)M在曲線BA之間（含端點(diǎn)）移動(dòng)時(shí)，M的坐標(biāo)為（，﹣）或（﹣，﹣）時(shí)，|m|+|n|的最大值為．