Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，經(jīng)過(guò)點(diǎn)C且與邊AB相切的動(dòng)圓與CB，CA分別相交于點(diǎn)E，F，則線段EF長(zhǎng)度的最小值是（　�。�

A.B.4.75C.5D.4.8

Answer 1

【答案】D

【解析】

根據(jù)題意設(shè)EF的中點(diǎn)為O，圓O與AB的切點(diǎn)為D，連接OD，連接CO，CD，則有OD⊥AB；由勾股定理的逆定理知，△ABC是直角三角形OC+OD=EF，由三角形的三邊關(guān)系知，CO+OD＞CD；只有當(dāng)點(diǎn)O在CD上時(shí)，OC+OD=EF有最小值為CD的長(zhǎng)，即當(dāng)點(diǎn)O在直角三角形ABC的斜邊AB的高上CD時(shí)，EF=CD有最小值，由直角三角形的面積公式求出CD的值．

解：如圖：

∵∠ACB=90°，

∴EF是直徑，

設(shè)EF的中點(diǎn)為O，圓O與AB的切點(diǎn)為D，連接OD，CO，CD，則OD⊥AB．

∵AB=10，AC=8，BC=6，

∴∠ACB=90°，

∴EF為直徑，OC+OD=EF，

∴CO+OD＞CD=4.8，

∵當(dāng)點(diǎn)O在直角三角形ABC的斜邊AB的高上CD時(shí)，EF=CD有最小值

∴由三角形面積公式得：CD=BCAC÷AB=4.8．

故選：D．