【題目】如圖1,拋物線C:y=x2經(jīng)過變換可得到拋物線C1:y1=a1x(x﹣b1),C1與x軸的正半軸交于點(diǎn)A,且其對(duì)稱軸分別交拋物線C、C1于點(diǎn)B1、D1.此時(shí)四邊形OB1A1D1恰為正方形:按上述類似方法,如圖2,拋物線C1:y1=a1x(x﹣b1)經(jīng)過變換可得到拋物線C2:y2=a2x(x﹣b2),C2與x軸的正半軸交于點(diǎn)A2,且其對(duì)稱軸分別交拋物線C1、C2于點(diǎn)B2、D2.此時(shí)四邊形OB2A2D2也恰為正方形:按上述類似方法,如圖3,可得到拋物線C3:y3=a3x(x﹣b3)與正方形OB3A3D3,請(qǐng)?zhí)骄恳韵聠栴}:
(1)填空:a1= ,b1= ;
(2)求出C2與C3的解析式;
(3)按上述類似方法,可得到拋物線n:yn=anx(x﹣bn)與正方形OBnAnDn(n≥1)
①請(qǐng)用含n的代數(shù)式直接表示出n的解析式;
②當(dāng)x取任意不為0的實(shí)數(shù)時(shí),試比較y2018與y2019的函數(shù)值的大小關(guān)系,并說明理由.
【答案】(1)1,2;(2)y2=x2﹣2x,y3=x2﹣2x;(3)①yn=x2﹣2x(n≥1),②當(dāng)x≠0時(shí),y2018>y2019.
【解析】
(1)求與x軸交點(diǎn)A1坐標(biāo),根據(jù)正方形對(duì)角線性質(zhì)表示出B1的坐標(biāo),代入對(duì)應(yīng)的解析式即可求出對(duì)應(yīng)的b1的值,寫出D1的坐標(biāo),代入y1的解析式中可求得a1的值;
(2)求與x軸交點(diǎn)A2坐標(biāo),根據(jù)正方形對(duì)角線性質(zhì)表示出B2的坐標(biāo),代入對(duì)應(yīng)的解析式即可求出對(duì)應(yīng)的b2的值,寫出D2的坐標(biāo),代入y2的解析式中可求得a2的值,寫出拋物線C2的解析式;再利用相同的方法求拋物線C3的解析式;
(3)①根據(jù)圖形變換后二次項(xiàng)系數(shù)不變得出an=a1=1,由B1坐標(biāo)(1,1)、B2坐標(biāo)(3,3)、B3坐標(biāo)(7,7)得Bn坐標(biāo)(2n﹣1,2n﹣1),則bn=2(2n﹣1)=2n+1﹣2(n≥1),寫出拋物線n解析式.
②先求拋物線C2018和拋物線C2019的交點(diǎn)為(0,0),在交點(diǎn)的兩側(cè)觀察圖形得出y2018與y2019的函數(shù)值的大。
(1)y1=0時(shí),a1x(x﹣b1)=0,
x1=0,x2=b1,
∴A1(b1,0),
由正方形OB1A1D1得:OA1=B1D1=b1,
∴B1(,),D1(,),
∵B1在拋物線c上,則=()2,
b1(b1﹣2)=0,
b1=0(不符合題意),b1=2,
∴D1(1,﹣1),
把D1(1,﹣1)代入y1=a1x(x﹣b1)中得:﹣1=﹣a1,
∴a1=1,
故答案為:1,2;
(2)y2=0時(shí),a2x(x﹣b2)=0,
x1=0,x2=b2,
∴A2(b2
由正方形OB2A2D2得:OA2=B2D2=b2,
∴B2(,),
∵B2在拋物線c1上,則=()2﹣2×,
b2(b2﹣6)=0,
b2=0(不符合題意),b2=6,
∴D2(3,﹣3),
把D2(3,﹣3)代入C2的解析式:﹣3=3a2(3﹣6),a2=,
∴C2的解析式:y2=x(x﹣6)=x2﹣2x,
y3=0時(shí),a3x(x﹣b3)=0,
x1=0,x2=b3,
∴A3(b3,0),
由正方形OB3A3D3得:OA3=B3D3=b3,
∴B3(,),
∵B3在拋物線C2上,則=()2﹣2×,
b3(b3﹣18)=0,
b3=0(不符合題意),b3=18,
∴D3(9,﹣9),
把D3(9,﹣9)代入C3的解析式:﹣9=9a3(9﹣18),a3=,
∴C3的解析式:y3=x(x﹣18)=x2﹣2x;
(3)①n的解析式:yn=x2﹣2x(n≥1).
②由上題可得:
拋物線C2018的解析式為:y2018=x2﹣2x,
拋物線C2019的解析式為:y2019=x2﹣2x,
∴兩拋物線的交點(diǎn)為(0,0);
如圖4,由圖象得:當(dāng)x≠0時(shí),y2018>y2019.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著襄陽市近幾年城市建設(shè)的快速發(fā)展,對(duì)花木的需求量逐年提高.某園林專業(yè)戶計(jì)劃投資種植花卉及樹木,根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查與預(yù)測(cè),種植樹木的利潤(rùn)與投資量成正比例關(guān)系,如圖1所示;種植花卉的利潤(rùn)與投資量成二次函數(shù)關(guān)系,如圖2所示(注:利潤(rùn)與投資量的單位:萬元)
(1)分別求出利潤(rùn)與關(guān)于投資量的函數(shù)關(guān)系式;
(2)如果這位專業(yè)戶以10萬元資金投入種植花卉和樹木,求他獲得的最大利潤(rùn)是多少?
(3)在(2)的條件下,根據(jù)對(duì)市場(chǎng)需求的調(diào)查,這位專業(yè)戶決定投入種植樹木的資金不得高于投入種植花卉的資金,他至少獲得多少利潤(rùn)?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】網(wǎng)上購物已經(jīng)成為人們常用的一種購物方式,售后評(píng)價(jià)特別引人關(guān)注,消費(fèi)者在網(wǎng)店購買某種商品后,對(duì)其有
“好評(píng)”、“中評(píng)”、“差評(píng)”三種評(píng)價(jià),假設(shè)這三種評(píng)價(jià)是等可能的.
(1)小明對(duì)一家網(wǎng)店銷售某種商品顯示的評(píng)價(jià)信息進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),并列出了兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.
利用圖中所提供的信息解決以下問題:
①小明一共統(tǒng)計(jì)了 個(gè)評(píng)價(jià);
②請(qǐng)將圖1補(bǔ)充完整;
③圖2中“差評(píng)”所占的百分比是 ;
(2)若甲、乙兩名消費(fèi)者在該網(wǎng)店購買了同一商品,請(qǐng)你用列表格或畫樹狀圖的方法幫助店主求一下兩人中至少有一個(gè)給“好評(píng)”的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知二次函數(shù)y=ax2+2x+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)C(0,3),與x軸分別交于點(diǎn)A,點(diǎn)B(3,0).點(diǎn)P是直線BC上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn).
(1)求二次函數(shù)y=ax2+2x+c的表達(dá)式;
(2)連接PO,PC,并把△POC沿y軸翻折,得到四邊形POP′C.若四邊形POP′C為菱形,請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),四邊形ACPB的面積最大?求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和四邊形ACPB的最大面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD在第一象限內(nèi),AB∥x軸,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(5,3),己知直線l:y= x﹣2
(1)將直線l向上平移m個(gè)單位,使平移后的直線恰好經(jīng)過點(diǎn)A,求m的值
(2)在(1)的條件下,平移后的直線與正方形的邊長(zhǎng)BC交于點(diǎn)E,求△ABE的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知是的弦,點(diǎn)在上,且,聯(lián)結(jié)、,并延長(zhǎng)交弦于點(diǎn),,.
(1)求的大;
(2)若點(diǎn)在上,,求的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線與軸交于、兩點(diǎn),是以點(diǎn)(0,3)為圓心,2為半徑的圓上的動(dòng)點(diǎn),是線段的中點(diǎn),連結(jié).則線段的最大值是( )
A. B. C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】今年,我國(guó)海關(guān)總署嚴(yán)厲打擊“洋垃圾”違法行動(dòng),堅(jiān)決把“洋垃圾”拒于國(guó)門之外.如圖,某天我國(guó)一艘海監(jiān)船巡航到A港口正西方的B處時(shí),發(fā)現(xiàn)在B的北偏東60°方向,相距150海里處的C點(diǎn)有一可疑船只正沿CA方向行駛,C點(diǎn)在A港口的北偏東30°方向上,海監(jiān)船向A港口發(fā)出指令,執(zhí)法船立即從A港口沿AC方向駛出,在D處成功攔截可疑船只,此時(shí)D點(diǎn)與B點(diǎn)的距離為75海里.
(1)求B點(diǎn)到直線CA的距離;
(2)執(zhí)法船從A到D航行了多少海里?(結(jié)果保留根號(hào))
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知關(guān)于x的方程x2-(m+2)x+(2m-1)=0。
(1)求證:方程恒有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;
(2)若此方程的一個(gè)根是1,請(qǐng)求出方程的另一個(gè)根,并求以此兩根為邊長(zhǎng)的直角三角形的周長(zhǎng)。
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