Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點，連接AC，CE⊥AB于點E，D是直徑AB延長線上一點，且∠BCE＝∠BCD．

（1）求證：CD是⊙O的切線；

（2）若AD＝8，＝，求CD的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）4

【解析】

（1）連接OC，根據(jù)圓周角定理得到∠ACB＝90°，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠A＝∠ECB，求得∠A＝∠BCD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠A＝∠ACO，等量代換得到∠ACO＝∠BCD，求得∠DCO＝90°，于是得到結(jié)論；

（2）設BC＝k，AC＝2k，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

（1）證明：連接OC，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB＝90°，

∵CE⊥AB，

∴∠CEB＝90°，

∴∠ECB+∠ABC＝∠ABC+∠CAB＝90°，

∴∠A＝∠ECB，

∵∠BCE＝∠BCD，

∴∠A＝∠BCD，

∵OC＝OA，

∴∠A＝∠ACO，

∴∠ACO＝∠BCD，

∴∠ACO+∠BCO＝∠BCO+∠BCD＝90°，

∴∠DCO＝90°，

∴CD是⊙O的切線；

（2）解：∵∠A＝∠BCE，

∴tanA＝＝tan∠BCE＝＝，

設BC＝k，AC＝2k，

∵∠D＝∠D，∠A＝∠BCD，

∴△ACD∽△CBD，

∴＝＝，

∵AD＝8，

∴CD＝4．