Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，點E為CD上一點，將△BCE沿BE翻折后點C恰好落在AD邊上的點F處，將線段EF繞點F旋轉，使點E落在BE上的點G處，連接CG.

(1)證明：四邊形CEFG是菱形；

(2)若AB=8，BC=10，求四邊形CEFG的面積；

(3)試探究當線段AB與BC滿足什么數(shù)量關系時，BG=CG，請寫出你的探究過程．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）20；（3）

【解析】試題分析：（1）由折疊得到EF=CE，∠FEG=∠CEG，再加上公共邊GE，利用SAS可得出△EFG≌△ECG，利用全等三角形的對應邊相等可得出GF=CG，再由FG是線段EF旋轉得到的，故FG=EF，等量代換可得出四邊形EFGC四條邊相等，進而確定出此四邊形為菱形；（2）連接FC，與GE交于點O，由折疊得到BF=BC=10，連接FC，交GE于O點，在Rt△ABF中，根據(jù)勾股定理求得AF =6，即可得FD=4，設EC=x，則DE=8-x，EF=x，在Rt△FDE中利用勾股定理列出方程42+（8-x）2=x2，解方程得EC=5；在Rt△FDC中根據(jù)勾股定理求得FC=4 ；在菱形FGCE中FO=FC=2，EO=GE，GE⊥FC，在在Rt△FOE中求得EO=，即可得GE=2EO=2，從而根據(jù)菱形的面積等于兩條對角線乘積的一半即可求得菱形的面積；（3）當線段AB與BC滿足時，BG=CG，理由為：在Rt△ABF中，利用特殊角的三角函數(shù)值及銳角三角函數(shù)定義求出∠ABF的度數(shù)，進而確定出∠FBC的度數(shù)，再由折疊得到∠FBE=∠EBC，求出∠EBC為30°，可得出∠BEC為60°，再由GC=CE得到△CGE為等邊三角形，再由30°所對的直角邊EC等于斜邊BE的一半，得到GE為BE的一半，即G為BE的中點，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得到CG與BG相等都為BE的一半．

試題解析：

（1）根據(jù)翻折的方法可得：EF=EC，∠FEG=∠CEG，

在△EFG和△ECG中，

∵ ，

∴△EFG≌△ECG（SAS），

∴FG=GC，

∵線段FG是由EF繞F旋轉得到的，

∴EF=FG，

∴EF=EC=FG=GC，

∴四邊形FGCE是菱形；

（2）連接FC，交GE于O點，

根據(jù)折疊可得：BF=BC=10，

∵AB=8，

在Rt△ABF中，

根據(jù)勾股定理得：AF= =6，

∴FD=AD-AF=10-6=4，

設EC=x，則DE=8-x，EF=x，

在Rt△FDE中：FD2+DE2=EF2，即42+（8-x）2=x2，

解得：x=5，

在Rt△FDC中：FD2+DC2=CF2，

則：42+82=FC2，

解得：FC=4 ，

∵四邊形FGCE是菱形，

∴FO=FC=2，EO=GE，GE⊥FC，

在Rt△FOE中：FO2+OE2=EF2，即（2）2+EO2=52，

解得：EO=，

∴GE=2EO=2，

則S菱形CEFG=×FC×GE=×4×2=20；

（3）當時，BG=CG，理由為：

由折疊可得：BF=BC，∠FBE=∠CBE，

∵在Rt△ABF中， ，

∴cos∠ABF= ，即∠ABF=30°，

又∵∠ABC=90°，

∴∠FBC=60°，EC=BE，

∴∠FBE=∠CBE=30°，

∵∠BCE=90°，

∴∠BEC=60°，

又∵GC=CE，

∴△GCE為等邊三角形，

∴GE=CG=CE=BE，

∴G為BE的中點，

則CG=BG=BE．