【題目】如圖1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC>BC,分別以AB,BC,CA為一邊向△ABC外作正方形ABDE、BCMN,CAFG,連接EF、GM、ND,設(shè)△AEF、△BND、△CGM的面積分別為S1、S2、S3.
(1)猜想S1、S2、S3的大小關(guān)系.
(2)請對(1)的猜想,任選一個關(guān)系進行證明;
(3)若將圖1中的Rt△ABC改為圖2中的任意△ABC,若SABC=5,求出S1+S2+S3的值;
(4)若將圖2中的任意△ABC改為任意凸四邊形ABCD,若S△AEG+S△CNK+S△IBH+S△DFM=α,則四邊形ABCD的面積為 (直接用含α的代數(shù)式表示結(jié)果)
【答案】(1)S1=S2=S3(2)見解析(3)15(4)a
【解析】
(1)猜想三個三角形面積相等;
(2)證明三個三角形都與△ABC面積相等.觀察圖形,要證明面積相等,圖中正方形提供了一組相等的邊作為底,只要證明高相等即可;
(3)證明思路同(2),S1、S2、S3面積都等于△ABC問題可求;
(4)作四邊形ABCD對角線,可以以利用(3)中結(jié)論,△AEG、△CNK、△IBH、△DFM的面積可以分別于四邊形ABCD被對角線分割所得的三角形對應(yīng)相等,則問題可證.
(1)猜想:S1=S2=S3
(2)如圖1,延長FA,過點E作EH⊥FA于H,
由已知:∠BAE=∠CAH=90°,
∴∠CAB=∠HAE.
∵∠ACB=∠AHE=90°,AE=AB,
∴△HAE≌△CAB,
∴EH=BC,
∴S△AEF===S△ABC,
∴S1=S△ABC,
同理:S2=S△ABC,S3=S△ABC,
∴S1=S2=S3
(3)如圖2
分別過點G和A作GQ⊥MC于Q,AP⊥BC于P,
由已知:∠GCA=∠QCB=90°,
∴∠GCQ=∠ACP.
又∵∠GQC=∠APC=90°,
GC=AC,
∴△GCQ≌△ACP,
∴GQ=AP,
∵S△GCM=,
S△ABC=,
MC=BC,
∴S△GCM=S△ABC,
∴S3=S△ABC,
同理:S1=S△ABC,
S2=S△ABC,
∴S1=S2=S3=S△ABC,
∵SABC=5,
∴S1+S2+S3=15;
(4)如圖3,連AC,
由(3)可知,S△DFM=S△ADC,
S△IBH=S△ABC,
∴S△DFM+S△IBH=S△ADC+S△ABC=S四邊形ABCD,
同理:S△AEG+S△CNK=S四邊形ABCD,
∴S△AEG+S△CNK+S△IBH+S△DFM=2S四邊形ABCD,
∵S△AEG+S△CNK+S△IBH+S△DFM=α,
∴2S四邊形ABCD=α,
∴四邊形ABCD的面積為,
故答案為:
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某青春黨支部在精準扶貧活動中,給結(jié)對幫扶的貧困家庭贈送甲、乙兩種樹苗讓其栽種.已知乙種樹苗的價格比甲種樹苗貴10元,用480元購買乙種樹苗的棵數(shù)恰好與用360元購買甲種樹苗的棵數(shù)相同.
(1)求甲、乙兩種樹苗每棵的價格各是多少元?
(2)在實際幫扶中,他們決定再次購買甲、乙兩種樹苗共50棵,此時,甲種樹苗的售價比第一次購買時降低了10%,乙種樹苗的售價不變,如果再次購買兩種樹苗的總費用不超過1500元,那么他們最多可購買多少棵乙種樹苗?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】 如圖,點O在△ABC的BC邊上,⊙O經(jīng)過點A、C,且與BC相交于點 D.點E是下半圓弧的中點,連接AE交BC于點F,已知AB=BF.
(1)求證:AB是⊙O的切線;
(2)若OC=3,OF=1,求cosB的值.
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【題目】4月18日,一年一度的“風箏節(jié)”活動在市政廣場舉行,如圖,廣場上有一風箏A,小江抓著風箏線的一端站在D處,他從牽引端E測得風箏A的仰角為67°,同一時刻小蕓在附近一座距地面30米高(BC=30米)的居民樓頂B處測得風箏A的仰角是45°,已知小江與居民樓的距離CD=40米,牽引端距地面高度DE=1.5米,根據(jù)以上條件計算風箏距地面的高度(結(jié)果精確到0.1米,參考數(shù)據(jù):sin67°≈,cos67°≈,tan67°≈,≈1.414).
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【題目】如圖,直線y=2x+2與y軸交于A點,與反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象交于點M,過M作MH⊥x軸于點H,且tan∠AHO=2.
(1)求H點的坐標及k的值;
(2)點P在y軸上,使△AMP是以AM為腰的等腰三角形,請直接寫出所有滿足條件的P點坐標;
(3)點N(a,1)是反比例函數(shù)y=(x>0)圖象上的點,點Q(m,0)是x軸上的動點,當△MNQ的面積為3時,請求出所有滿足條件的m的值.
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【題目】如圖,正方形ABCD的邊長為4,點E,F分別在邊AB,AD上,且∠ECF=45°,CF的延長線交BA的延長線于點G,CE的延長線交DA的延長線于點H,連接AC,EF.,GH.
(1)填空:∠AHC ∠ACG;(填“>”或“<”或“=”)
(2)線段AC,AG,AH什么關(guān)系?請說明理由;
(3)設(shè)AE=m,
①△AGH的面積S有變化嗎?如果變化.請求出S與m的函數(shù)關(guān)系式;如果不變化,請求出定值.
②請直接寫出使△CGH是等腰三角形的m值.
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【題目】張老師為了了解班級學生完成數(shù)學課前預(yù)習的具體情況,對本班部分學生進行了為期半個月的跟蹤調(diào)查.他將調(diào)查結(jié)果分為四類:A:很好;B:較好;C:一般;D:較差,并將調(diào)查結(jié)果繪制成以下兩幅不完整的統(tǒng)計圖,請你根據(jù)統(tǒng)計圖解答下列問題:
(1)請計算出A類男生和C類女生的人數(shù),并將條形統(tǒng)計圖補充完整.
(2)為了共同進步,張老師想從被調(diào)查的A類和D類學生中各隨機機抽取一位同學進行“一幫一”互助學習,請用畫樹狀圖或列表的方法求出所選兩位同學恰好是一男一女同學的概率.
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【題目】是⊙O直徑,在的異側(cè)分別有定點和動點,如圖所示,點在半圓弧 上運動(不與、重合),過作的垂線,交的延長線于,已知,∶=∶.
(1)求證:·=·;
(2)當點運動到弧的中點時,求的長;
(3)當點運動到什么位置時,的面積最大?請直接寫出這個最大面積.
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【題目】如圖,的直角頂點P在第四象限,頂點A、B分別落在反比例函數(shù)圖象的兩支上,且軸于點C,軸于點D,AB分別與x軸,y軸相交于點F和已知點B的坐標為.
填空:______;
證明:;
當四邊形ABCD的面積和的面積相等時,求點P的坐標.
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