【題目】如圖1,在RtABC中,∠ACB90°,ACBC,分別以AB,BC,CA為一邊向△ABC外作正方形ABDE、BCMN,CAFG,連接EF、GMND,設(shè)△AEF、△BND、△CGM的面積分別為S1S2、S3

1)猜想S1、S2、S3的大小關(guān)系.

2)請對(1)的猜想,任選一個關(guān)系進行證明;

3)若將圖1中的RtABC改為圖2中的任意△ABC,若SABC5,求出S1+S2+S3的值;

4)若將圖2中的任意△ABC改為任意凸四邊形ABCD,若SAEG+SCNK+SIBH+SDFMα,則四邊形ABCD的面積為   (直接用含α的代數(shù)式表示結(jié)果)

【答案】(1)S1S2S3(2)見解析(3)15(4)a

【解析】

1)猜想三個三角形面積相等;
2)證明三個三角形都與△ABC面積相等.觀察圖形,要證明面積相等,圖中正方形提供了一組相等的邊作為底,只要證明高相等即可;
3)證明思路同(2),S1S2、S3面積都等于△ABC問題可求;
4)作四邊形ABCD對角線,可以以利用(3)中結(jié)論,△AEG、△CNK、△IBH、△DFM的面積可以分別于四邊形ABCD被對角線分割所得的三角形對應(yīng)相等,則問題可證.

1)猜想:S1S2S3

2)如圖1,延長FA,過點EEH⊥FAH,

由已知:∠BAE∠CAH90°,

∴∠CAB∠HAE.

∵∠ACB∠AHE90°,AEAB

∴△HAE≌△CAB,

∴EHBC,

∴SAEFSABC,

S1SABC,

同理:S2SABC,S3SABC,

∴S1S2S3

3)如圖2

分別過點GAGQ⊥MCQ,AP⊥BCP,

由已知:∠GCA∠QCB90°

∴∠GCQ∠ACP.

∵∠GQC∠APC90°,

GCAC

∴△GCQ≌△ACP,

∴GQAP,

∵SGCM,

SABC,

MCBC,

∴SGCMSABC

∴S3SABC,

同理:S1SABC,

S2SABC,

∴S1S2S3SABC,

∵SABC5,

∴S1+S2+S315;

4)如圖3,連AC,

由(3)可知,SDFMSADC,

SIBHSABC,

∴SDFM+SIBHSADC+SABCS四邊形ABCD,

同理:SAEG+SCNKS四邊形ABCD

∴SAEG+SCNK+SIBH+SDFM2S四邊形ABCD,

∵SAEG+SCNK+SIBH+SDFMα,

∴2S四邊形ABCDα,

四邊形ABCD的面積為

故答案為:

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2)點Py軸上,使△AMP是以AM為腰的等腰三角形,請直接寫出所有滿足條件的P點坐標;

3)點Na,1)是反比例函數(shù)yx0)圖象上的點,點Qm,0)是x軸上的動點,當△MNQ的面積為3時,請求出所有滿足條件的m的值.

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(2)線段AC,AG,AH什么關(guān)系?請說明理由;

(3)設(shè)AEm

①△AGH的面積S有變化嗎?如果變化.請求出Sm的函數(shù)關(guān)系式;如果不變化,請求出定值.

②請直接寫出使△CGH是等腰三角形的m值.

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