【題目】是⊙O直徑,在的異側(cè)分別有定點(diǎn)和動點(diǎn),如圖所示,點(diǎn)在半圓弧 上運(yùn)動(不與、重合),過作的垂線,交的延長線于,已知,∶=∶.
(1)求證:·=·;
(2)當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到弧的中點(diǎn)時(shí),求的長;
(3)當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到什么位置時(shí),的面積最大?請直接寫出這個(gè)最大面積.
【答案】(1)證明見解析;(2)CD=;(3)當(dāng)PC為⊙O直徑時(shí),△PCD的最大面積=.
【解析】
(1)由圓周角定理可得∠PCD=∠ACB=90°,可證△ABC∽△PCD,可得,即可得證。
(2)由題意可求BC=4,AC=3,由勾股定理可求CE的長,由銳角三角函數(shù)可求PE的長,即可得PC的長,由ACCD=PCBC可求CD的值;
(3)當(dāng)點(diǎn)P在上運(yùn)動時(shí),,由(1)可得:,可得,當(dāng)PC最大時(shí),△PCD的面積最大,而PC為直徑時(shí)最大,故可求解.
證明:(1)
∵AB為直徑,
∴∠ACB=90°
∵PC⊥CD,
∴∠PCD=90°
∴∠PCD=∠ACB,且∠CAB=∠CPB
∴△ABC∽△PCD
∴
∴ACCD=PCBC
(2)∵AB=5,BC:CA=4:3,∠ACB=90°
∴BC=4,AC=3,
當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到的中點(diǎn)時(shí),過點(diǎn)B作BE⊥PC于點(diǎn)E
∵點(diǎn)P是的中點(diǎn),
∴∠PCB=45°,且BC=4
∴CE=BE=BC=2
∵∠CAB=∠CPB
∴tan∠CAB==tan∠CAB=
∴PE=
∴PC=PE+CE=+2=
∵ACCD=PCBC
∴3×CD=×4
∴CD=
(3)當(dāng)點(diǎn)P在上運(yùn)動時(shí),S△PCD=×PC×CD,
由(1)可得:CD=PC
∴S△PCD==PC2,
∴當(dāng)PC最大時(shí),△PCD的面積最大,
∴當(dāng)PC為⊙O直徑時(shí),△PCD的最大面積=×52=
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,AB=10cm,cosB=點(diǎn)M、N分別是邊BC和AC上的兩個(gè)動點(diǎn),點(diǎn)M以2cm/s的速度沿C→B方向運(yùn)動,同時(shí)點(diǎn)N以1cm/s的速度沿A→C方向運(yùn)動,當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動,設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t,四邊形ABMN的面積為S,則下列能大致反映S與t函數(shù)關(guān)系的圖象是( 。
A.B.C.D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC>BC,分別以AB,BC,CA為一邊向△ABC外作正方形ABDE、BCMN,CAFG,連接EF、GM、ND,設(shè)△AEF、△BND、△CGM的面積分別為S1、S2、S3.
(1)猜想S1、S2、S3的大小關(guān)系.
(2)請對(1)的猜想,任選一個(gè)關(guān)系進(jìn)行證明;
(3)若將圖1中的Rt△ABC改為圖2中的任意△ABC,若SABC=5,求出S1+S2+S3的值;
(4)若將圖2中的任意△ABC改為任意凸四邊形ABCD,若S△AEG+S△CNK+S△IBH+S△DFM=α,則四邊形ABCD的面積為 (直接用含α的代數(shù)式表示結(jié)果)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)P在以AB為直徑的半圓內(nèi),連AP、BP,并延長分別交半圓于點(diǎn)C、D,連接AD、BC并延長交于點(diǎn)F,作直線PF,下列說法正確的是:
①AC垂直平分BF;②AC平分∠BAF;③PF⊥AB;④BD⊥AF.
A.①② B.①④ C.②④ D.③④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形是矩形紙片,.對折矩形紙片,使與重合,折痕為;展平后再過點(diǎn)折疊矩形紙片,使點(diǎn)落在上的點(diǎn),折痕與相交于點(diǎn);再次展平,連接,,延長交于點(diǎn).以下結(jié)論:①;②;③;④△是等邊三角形; ⑤為線段上一動點(diǎn),是的中點(diǎn),則的最小值是.其中正確結(jié)論的序號是( ).
A. ①②④B. ①④⑤C. ①③④D. ①②③⑤
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)需完成A、B兩個(gè)工地的工程.若甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)分別可提供40個(gè)和50個(gè)標(biāo)準(zhǔn)工作量,完成A、B兩個(gè)工地的工程分別需要70個(gè)和20個(gè)標(biāo)準(zhǔn)工作量,且兩個(gè)工程隊(duì)在A、B兩個(gè)工地的1個(gè)標(biāo)準(zhǔn)工作量的成本如下表所示:
A工地 | B工地 | |
甲工程隊(duì) | 800元 | 750元 |
乙工程隊(duì) | 600元 | 570元 |
設(shè)甲工程隊(duì)在A工地投入x(20≤x≤40)個(gè)標(biāo)準(zhǔn)工作量,完成這兩個(gè)工程共需成本y元.
(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)請判斷y是否能等于62000,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我們規(guī)定,以二次函數(shù)y=ax2+bx+c的二次項(xiàng)系數(shù)a的2倍為一次項(xiàng)系數(shù),一次項(xiàng)系數(shù)b為常數(shù)項(xiàng)構(gòu)造的一次函數(shù)y=2ax+b叫做二次函數(shù)y=ax2+bx+c的“子函數(shù)”,反過來,二次函數(shù)y=ax2+bx+c叫做一次函數(shù)y=2ax+b的“母函數(shù)”.
(1)若一次函數(shù)y=2x-4是二次函數(shù)y=ax2+bx+c的“子函數(shù)”,且二次函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)(3,0),求此二次函數(shù)的解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo).
(2)若“子函數(shù)”y=x-6的“母函數(shù)”的最小值為1,求“母函數(shù)”的函數(shù)表達(dá)式.
(3)已知二次函數(shù)y=-x2-4x+8的“子函數(shù)”圖象直線l與x軸、y軸交于C、D兩點(diǎn),動點(diǎn)P為二次函數(shù)y=-x2-4x+8對稱軸右側(cè)上的動點(diǎn),求△PCD的面積的最大值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,OABC的頂點(diǎn)A在x軸上,頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(6,4).若直線l經(jīng)過點(diǎn)(1,0),且將OABC分割成面積相等的兩部分,則直線l的函數(shù)解析式是( 。
A. y=x+1B. C. y=3x﹣3D. y=x﹣1
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為改善生態(tài)環(huán)境,防止水土流失,某村計(jì)劃在江漢堤坡種植白楊樹,現(xiàn)甲、乙兩家林場有相同的白楊樹苗可供選擇,其具體銷售方案如下:
甲林場 | 乙林場 | ||
購樹苗數(shù)量 | 銷售單價(jià) | 購樹苗數(shù)量 | 銷售單價(jià) |
不超過1000棵時(shí) | 4元/棵 | 不超過2000棵時(shí) | 4元/棵 |
超過1000棵的部分 | 3.8元/棵 | 超過2000棵的部分 | 3.6元/棵 |
設(shè)購買白楊樹苗x棵,到兩家林場購買所需費(fèi)用分別為y甲(元)、y乙(元).
(1)該村需要購買1500棵白楊樹苗,若都在甲林場購買所需費(fèi)用為 元,若都在乙林場購買所需費(fèi)用為 元;
(2)分別求出y甲、y乙與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)如果你是該村的負(fù)責(zé)人,應(yīng)該選擇到哪家林場購買樹苗合算,為什么?
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