【題目】如圖,拋物線yx2x3交軸于AB兩點,交y軸于點C,點D為點C關于拋物線對稱軸的對稱點.

1)若點P是拋物線上位于直線AD下方的一個動點,在y軸上有一動點E,x軸上有一動點F,當△PAD的面積最大時,一動點G從點P出發(fā)以每秒1個單位的速度沿PEF的路徑運動到點F,再沿線段FB以每秒2個單位的速度運動到B點后停止,當點F的坐標是多少時,動點G的運動過程中所用的時間最少?

2)如圖,在(1)問的條件下,將拋物線沿直線PB進行平移,點PB平移后的對應點分別記為點P'、B',請問在y軸上是否存在一動點Q,使得△P'QB'為等腰直角三角形?若存在,請直接寫出所有符合條件的Q點坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】(1)點為F,0)時,t最小;(2)存在,點Q的坐標為:(0,﹣)或(0,﹣)或(0,)或(0,﹣

【解析】

1)由題可求出點AB、CD,的坐標,點A、D的坐標代入一次函數(shù)表達式可得:直線AD的表達式,過點作y軸的平行線交AD于點S,設點Px,x2x3),點Sx,﹣x),可得SPADSP×(xDxA)=2(﹣xx2+x+3),由此可得點P的坐標,作點P關于y軸的對稱點P′,過點B作與x軸負方向夾角為30°的直線BH,過點P′作PHBH交于點H,PHy軸、x軸分別交于點E、F,則此時t最小,然后求出直線BH的表達式和直線PH的表達式聯(lián)立求解,從而可得答案;

2)先求出直線PB的表達式,設:點P′、B′的坐標分別為:(mm6),(m+3,m),分:①當∠BQP′為直角時,當∠QBP′為直角時,當∠QPB′為直角時,三種情況討論即可.

1yx2x3,令y0,則x4或﹣

故點A、B的坐標分別為(﹣0)、(4,0),

C0,﹣3)、點D3,﹣3),

將點AD的坐標代入一次函數(shù)表達式:ykx+b并解得:

直線AD的表達式為:y=﹣x,

過點作y軸的平行線交AD于點S,

設點Px,x2x3),點Sx,﹣x

SPADSP×(xDxA)=2(﹣xx2+x+3)=﹣x2+3x+

∵﹣0,

SPAD有最大值,當x=﹣時,函數(shù)取得最大值,

此時點P,﹣);

作點P關于y軸的對稱點P′(﹣,﹣),

過點B作與x軸負方向夾角為30°的直線BH,

過點P′作PHBH交于點HPHy軸、x軸分別交于點E、F,則此時t最小,

∵直線BHx軸負方向夾角為30°,則FHBF,

tPE+EF+FBPE+EF+FHPH

設:直線BH的表達式為:y=﹣x+s,

將點B的坐標代入上式并解得:

直線BH的表達式為:y=﹣x+4,

同理可得直線PH的表達式為:yx+3,

則點F,0),

則直線PH的傾斜角為60°,

聯(lián)立①②并解得:x,y,

即點H

tPH2xHxP)=;

故點為F,0)時,t最。);

2)存在,理由:

同理可得直線PB的表達式為:yx6

tanGBP′=tanα,則cosα,sinα,

PB′=PB,則點B′在點P′右側的距離為:PBcosα3,

同理點B′在點P′上方的距離為:,

則設:點P′、B′的坐標分別為:(mm6),(m+3,m),

當∠BQP′為直角時,如圖(左側圖),

過點B′作BGy軸于點G,

∵∠BQG+POH90°,∠BQG+GBQ90°,∴∠GBQ=∠POH,

BGQ=∠QHP′=90°,QP′=QB′,

∴△BGQ≌△QHP′(AAS),則BGOH,GQPH,

即:mnm,m+3nm+6

解得:m,n=﹣;

同理當直線向下平移時:n=﹣

當∠QBP′為直角時,

同理可得:m+3mnm+mm+6m+3,

解得:mn,

同理當直線向下平移時:n=﹣;

當∠QPB′為直角時,

經驗證同重復,解得n=;

綜上,點Q的坐標為:(0,﹣)或(0,﹣)或(0,)或(0,﹣).

練習冊系列答案
相關習題

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,點P是正方形ABCD的對角線BD上一點,PEBC于點E,PFCD于點F,連接EF給出下列五個結論:①AP=EF;②△APD一定是等腰三角形;③APEF;④PD=EF.其中正確結論的番號是(

A.①③④B.①②③C.①③D.①②④

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】一輛汽車往返于甲、乙兩地之間,如果汽車以50千米/時的平均速度從甲地出發(fā),則經過6小時可到達乙地.

(1)甲、乙兩地相距多少千米?

(2)如果汽車把速度提高到 v(千米/時),那么從甲地到乙地所用時間 t(小時)將怎樣變化?

(3)寫出 t v之間的函數(shù)關系式;

(4)因某種原因,這輛汽車需在5小時內從甲地到達乙地,則此時汽車的平均速度至少應是多少?

(5)已知汽車的平均速度最大可達80千米/時,那么它從甲地到乙地最快需要多長時間?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,二次函數(shù)y1=﹣x2+bx+c的圖象與x軸、y軸分別交于點A(﹣1,0)和點B02),圖象的對稱軸交x軸于點C,一次函數(shù)y2mx+n的圖象經過點B、C

1)求二次函數(shù)的解析式y1和一次函數(shù)的解析式y2

2)點Px軸下方的二次函數(shù)圖象上,且SACP33,求點P的坐標;

3)結合圖象,求當x取什么范圍的值時,有y1y2

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】勾股定理是一個基本的幾何定理,早在我國西漢吋期算書《周髀算經》就有“勾三股四弦五”的記載.如果一個直角三角形三邊長都是正整數(shù),這樣的直角三角形叫“整數(shù)直角三角形”;這三個整數(shù)叫做一組“勾股數(shù)”,如:34,5;512,13;7,2425;815,179,4041等等都是勾股數(shù).

1)小李在研究勾股數(shù)時發(fā)現(xiàn),某些整數(shù)直角三角形的斜邊能寫成兩個整數(shù)的平方和,有一條直角邊能寫成這兩個整數(shù)的平方差.如34,5中,522+1232212;5,1213中,1332+22,53222;請證明:m,n為正整數(shù),且mn,若有一個直角三角形斜邊長為m2+n2,有一條直角長為m2n2,則該直角三角形一定為“整數(shù)直角三角形”;

2)有一個直角三角形兩直角邊長分別為,斜邊長4,且ab均為正整數(shù),用含b的代數(shù)式表示a,并求出ab的值;

3)若c1a12+b12,c2a22+b22,其中,a1、a2、b1、b2均為正整數(shù).證明:存在一個整數(shù)直角三角形,其斜邊長為c1c2

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,每個圖案都由若干個“●”組成,其中第①個圖案中有7“●”,第②個圖案中有13“●”,,則第⑨個圖案中“●”的個數(shù)為( )

A.87B.91C.103D.111

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,在矩形ABCD中,EAD邊的中點,BEAC于點F,連接DF,下列四個結論:①△AEF∽△CAB;CF2AF;DFDC;S四邊形CDEFSABF.其中正確的結論有 ) 

 

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如下圖,中,三條內角平分線相交于點于點.

1)若,,求的度數(shù).

2)若,則相等嗎?請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,在中,的中點,,.動點從點出發(fā),沿方向以的速度向點運動;同時動點從點出發(fā),沿方向以的速度向點運動,運動時間是秒.

(1)用含的代數(shù)式表示的長度.

(2)在運動過程中,是否存在某一時刻,使點位于線段的垂直平分線上?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.

(3)是否存在某一時刻,使?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.

(4)是否存在某一時刻,使?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案