Question

18．如圖，點(diǎn)O是菱形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，CE∥BD，EB∥AC，連接OE．
（1）求證：OE=CB；
（2）如果OC：OB=1：2，CD=$\sqrt{5}$，則菱形的面積為4．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)證明四邊形OCEB是矩形來(lái)推知OE=CB；
（2）利用（1）中的AC⊥BD、OE=CB，結(jié)合已知條件，在Rt△BOC中，由勾股定理求得CO=1，OB=2．然后由菱形的對(duì)角線互相平分和菱形的面積公式進(jìn)行解答．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD．
∵CE∥BD，EB∥AC，
∴四邊形OCEB是平行四邊形，
∴四邊形OCEB是矩形，
∴OE=CB；
（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴BC=CD=$\sqrt{5}$，
由（1）知，AC⊥BD，OC：OB=1：2，
∴在Rt△BOC中，由勾股定理得 BC²=OC²+OB²，
∴CO=1，OB=2．
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC=2，BD=4，
∴菱形ABCD的面積=$\frac{1}{2}$BD•AC=4；
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了菱形的性質(zhì)和勾股定理．解題時(shí)充分利用了菱形的對(duì)角線互相垂直平分、矩形的對(duì)角線相等的性質(zhì)．