【題目】已知P(a,y1),Q(1,y2)是拋物線y=kx2+(2k+1)x+2(k是不等于0的常數(shù))上的兩點(diǎn).
(1)求證:無(wú)論k取任何實(shí)數(shù)時(shí),關(guān)于x的方程kx2+(2k+1)x+2=0總有實(shí)數(shù)根;
(2)當(dāng)k=1時(shí),
①求拋物線y=kx2+(2k+1)x+2圖象與x軸兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo),并畫出此條拋物線的草圖;
②若y1>y2,請(qǐng)結(jié)合函數(shù)圖象確定實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】(1)見解析;(2)①(﹣2,0)、(﹣1,0),作圖見解析;②a<﹣4或a>1
【解析】
(1)計(jì)算的值,根據(jù)≥0可得結(jié)論;
(2)①先將k=1代入得:y=x2+3x+2,令y=0可以計(jì)算拋物線與x軸兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo),并畫出拋物線;
②根據(jù)圖象找到Q關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)A的坐標(biāo),可得a的取值范圍.
解:(1)kx2+(2k+1)x+2=0,
=(2k+1)2﹣4k×2=4k2+4k+1﹣8k=4k2﹣4k+1=(2k﹣1)2≥0,
∴無(wú)論k取任何實(shí)數(shù)時(shí),關(guān)于x的方程kx2+(2k+1)x+2=0總有實(shí)數(shù)根;
(2)①當(dāng)k=1時(shí),y=kx2+(2k+1)x+2=x2+3x+2,
當(dāng)y=0時(shí),x2+3x+2=0,
(x+1)(x+2)=0,
x1=﹣1,x2=﹣2,
∴拋物線y=kx2+(2k+1)x+2圖象與x軸兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(﹣2,0)、(﹣1,0),
列表如下:
x | -4 | -3 | -2 | - | -1 | 0 | 1 |
y | 6 | 2 | 0 | ﹣ | 0 | 2 | 6 |
描點(diǎn)、連線可得拋物線的草圖如圖所示:
②由y=x2+3x+2=(x+)2﹣可知,
∴拋物線的對(duì)稱軸是:x=﹣.
由對(duì)稱性得:點(diǎn)Q關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣4,y2),
∵P(a,y1),Q(1,y2)
∴若y1>y2,實(shí)數(shù)a的取值范圍是a<﹣4或a>1.
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【題目】如圖,在直線m上擺放著三個(gè)正三角形:△ABC,△HFG,△DCE,已知BC=CE,F、G分別是BC、CE的中點(diǎn),FM∥AC,GN∥DC.設(shè)圖中三個(gè)平行四邊形的面積依次是S1、S2、S3,若S1+S3=10,則S2=___________.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線與軸相交于,兩點(diǎn),與軸相交于點(diǎn),頂點(diǎn)為,直線與軸相交于點(diǎn)
(1)求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)(用含的式子表示);
(2)的長(zhǎng)是否與值有關(guān),說(shuō)明你的理由;
(3)設(shè),求的取值范圍;
(4)以為斜邊,在直線的左下方作等腰直角三角形.設(shè),直接寫出關(guān)于的函數(shù)解析式及自變量的取值范圍.
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【題目】如圖,在ABCD中,AB=6,AD=9,∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E,交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,BG⊥AE,垂足為G,若BG=,則△CEF的面積是( 。
A.B.C.D.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形ABOC的兩邊在坐標(biāo)軸上,OB=1,點(diǎn)A在函數(shù)y=﹣(x<0)的圖象上,將此矩形向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度到A1B1O1C1的位置,此時(shí)點(diǎn)A1在函數(shù)y=(x>0)的圖象上,C1O1與此圖象交于點(diǎn)P,則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是( 。
A. B. C. D.
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【題目】如圖是二次函數(shù)圖像的一部分,對(duì)稱軸是直線x=﹣2.關(guān)于下列結(jié)論:①ab<0;②;③;④;⑤方程的兩個(gè)根為,其中正確的結(jié)論有( )
A.①③④B.②④⑤C.①②⑤D.②③⑤
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【題目】已知:如圖,平行四邊形ABCD,對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)E,點(diǎn)G為AD的中點(diǎn),連接CG,CG的延長(zhǎng)線交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連接FD.
(1)求證:AB=AF;
(2)若AG=AB,∠BCD=120°,判斷四邊形ACDF的形狀,并證明你的結(jié)論.
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【題目】如圖,一農(nóng)戶要建一個(gè)矩形豬舍,豬舍的一邊利用長(zhǎng)為15m的住房墻,另外三邊用27m長(zhǎng)的建筑材料圍成,為方便進(jìn)出,在垂直于住房墻的一邊留一個(gè)1m寬的門,所圍矩形豬舍的長(zhǎng),寬分別為多少米時(shí),豬舍面積為96m2?
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【題目】在“五四青年節(jié)”來(lái)臨之際,某校舉辦了以“我的青春我做主”為主題的演講比賽. 并從參加比賽的學(xué)生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生的演講成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)(等級(jí):A:優(yōu)秀,B:良好,C:一般,D:較差),并制作了如下統(tǒng)計(jì)圖表(部分信息未給出):
等級(jí) | 人數(shù) |
A | m |
B | 20 |
C | n |
D | 10 |
請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表中的信息解答下列問(wèn)題:
(1)這次共抽取了________名參加演講比賽的學(xué)生,統(tǒng)計(jì)圖中a=________,b=________;
(2)若該校學(xué)生共有2000人,如果都參加了演講比賽,請(qǐng)你估計(jì)成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀的有多少人?
(3)若演講比賽成績(jī)?yōu)?/span>A等級(jí)的學(xué)生中恰好有2名女生,其余的學(xué)生為男生,從A等級(jí)的學(xué)生中抽取兩名同學(xué)參加全市演講比賽,求抽中一名男生和一名女生的概率.
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