Question

【題目】B，C是⊙O上的兩個定點，A是圓上的動點，0°＜∠BAC＜90°，BD∥AC，CD∥AB．

（1）如圖1，如果△ABC是等邊三角形，求證BD是⊙O的切線：

（2）如圖2，如果60°＜∠BAC＜90°，BD，CD分別交⊙O于E，F，研究五邊形ABEFC的性質(zhì)；

①探索AE、AF和BC的數(shù)量關系，并證明你的結論：

②如圖3，若⊙O的半徑為4，∠BAC＝75°，求邊EF的長；

③若AB＝c，AC＝b，直接寫出BE，CF的數(shù)量關系．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①AE＝BC，AF＝BC，理由見解析；②EF＝4；③＝．

【解析】

（1）想辦法證明OB⊥BD即可解決問題．

（2）①結論：AE＝BC，AF＝BC．想辦法證明弧AB=弧EC,弧AE=弧BC即可解決問題．

②如圖3中，連接OE，OF，EC，BF．證明△OEF是等邊三角形即可解決問題．

③利用相似三角形的性質(zhì)解決問題即可．

解：（1）如圖1中，

∵BD∥AC，CD∥AB，

∴四邊形ABDC是平行四邊形，

∴AB＝CD，BD＝AC，

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB＝BC＝AC，

∴BC＝BD＝CD，

∴△BCD是等邊三角形，

∴∠CBD＝60°，

∵點O是等邊△ABC的外心，

∴∠OCB＝30°，

∴∠OBD＝90°，

∴OB⊥BD，

∴BD是⊙O的切線．

（2）①結論：AE＝BC，AF＝BC．

理由：如圖2中，連接BF，EC．

∵BD∥AC，

∴∠ACB＝∠CBE，

∴弧AB=弧EC,

∴弧AE=弧BC，

∴AE＝BC，同法可證：AF＝BC．

②如圖3中，連接OE，OF，EC，BF．

由①可知AE＝AF，

∴∠AEF＝∠AFE，

∵弧AE=弧BC，

∴∠ACE＝∠BAC＝75°，

∴∠AFE＝∠ACE＝75°，

∴∠AEF＝∠AFE＝75°，

∴∠EAF＝180°﹣75°﹣75°＝30°，

∴∠EOF＝2∠EAF＝60°，

∵OE＝OF，

∴△OEF是等邊三角形，

∴EF＝OE＝4．

③結論： ．
理由：如圖3中，∵∠EFD+∠EFC=180°，∠EFC+∠DBC=180°，
∴∠EFD=∠DBC，
∴△DFE∽△DBC，
∴△DFE∽△DBC，
∴ ，
∵四邊形ABDC是平行四邊形，
∴AB=CD=c，BD=AC=b，
∴ ．