【題目】B,C是⊙O上的兩個定點,A是圓上的動點,0°<∠BAC<90°,BD∥AC,CD∥AB.
(1)如圖1,如果△ABC是等邊三角形,求證BD是⊙O的切線:
(2)如圖2,如果60°<∠BAC<90°,BD,CD分別交⊙O于E,F,研究五邊形ABEFC的性質(zhì);
①探索AE、AF和BC的數(shù)量關系,并證明你的結論:
②如圖3,若⊙O的半徑為4,∠BAC=75°,求邊EF的長;
③若AB=c,AC=b,直接寫出BE,CF的數(shù)量關系.
【答案】(1)見解析;(2)①AE=BC,AF=BC,理由見解析;②EF=4;③=.
【解析】
(1)想辦法證明OB⊥BD即可解決問題.
(2)①結論:AE=BC,AF=BC.想辦法證明弧AB=弧EC,弧AE=弧BC即可解決問題.
②如圖3中,連接OE,OF,EC,BF.證明△OEF是等邊三角形即可解決問題.
③利用相似三角形的性質(zhì)解決問題即可.
解:(1)如圖1中,
∵BD∥AC,CD∥AB,
∴四邊形ABDC是平行四邊形,
∴AB=CD,BD=AC,
∵△ABC是等邊三角形,
∴AB=BC=AC,
∴BC=BD=CD,
∴△BCD是等邊三角形,
∴∠CBD=60°,
∵點O是等邊△ABC的外心,
∴∠OCB=30°,
∴∠OBD=90°,
∴OB⊥BD,
∴BD是⊙O的切線.
(2)①結論:AE=BC,AF=BC.
理由:如圖2中,連接BF,EC.
∵BD∥AC,
∴∠ACB=∠CBE,
∴弧AB=弧EC,
∴弧AE=弧BC,
∴AE=BC,同法可證:AF=BC.
②如圖3中,連接OE,OF,EC,BF.
由①可知AE=AF,
∴∠AEF=∠AFE,
∵弧AE=弧BC,
∴∠ACE=∠BAC=75°,
∴∠AFE=∠ACE=75°,
∴∠AEF=∠AFE=75°,
∴∠EAF=180°﹣75°﹣75°=30°,
∴∠EOF=2∠EAF=60°,
∵OE=OF,
∴△OEF是等邊三角形,
∴EF=OE=4.
③結論: .
理由:如圖3中,∵∠EFD+∠EFC=180°,∠EFC+∠DBC=180°,
∴∠EFD=∠DBC,
∴△DFE∽△DBC,
∴△DFE∽△DBC,
∴ ,
∵四邊形ABDC是平行四邊形,
∴AB=CD=c,BD=AC=b,
∴ .
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【題目】如圖,等腰直角的頂點在正方形的對角線上,所在的直線交于點,交于點,連接,. 下列結論中,正確的有_________ (填序號).
①;②是的一個三等分點;③;④;⑤.
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【題目】如圖,AB為⊙O的直徑 ,點C在⊙O上,過點O作交BC于點E,交⊙O于點D,CD∥AB.
(1)求證:E為OD的中點;
(2)若CB=6,求四邊形CAOD的面積.
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【題目】(問題情境)
如圖1,四邊形ABCD是正方形,M是BC邊上的一點,E是CD邊的中點,AE平分∠DAM.
(探究展示)
(1)證明:AM=AD+MC;
(2)AM=DE+BM是否成立?若成立,請給出證明;若不成立,請說明理由.
(拓展延伸)
(3)若四邊形ABCD是長與寬不相等的矩形,其他條件不變,如圖2,探究展示(1)、(2)中的結論是否成立?請分別作出判斷,不需要證明.
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【題目】如圖,正方形ABCD中,AD=+2,已知點E是邊AB上的一動點(不與A、B重合)將△ADE沿DE對折,點A的對應點為P,當△APB是等腰三角形時,AE=_____.
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【題目】如圖,兩個半徑相等的直角扇形的圓心分別在對方的圓弧上,半徑AE、CF交于點G,半徑BE、CD交于點H,且點C是弧AB的中點,若扇形的半徑為,則圖中陰影部分的面積等于_____.
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【題目】如圖,已知ABCD.
(1)作∠B的平分線交AD于E點。(用尺規(guī)作圖法,保留作圖痕跡,不要求寫作法);
(2)若ABCD的周長為10,CD=2,求DE的長。
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【題目】如圖,點的坐標分別為和,拋物線的頂點在線段上運動,與軸交于兩點(在的左側),若點的橫坐標的最小值為0,則點的橫坐標最大值為( )
A.6B.7C.8D.9
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【題目】如圖,學校教學樓對面是一幢實驗樓,小朱在教學樓的窗口C測得實驗樓頂部D的仰角為20°,實驗樓底部B的俯角為30°,量得教學樓與實驗樓之間的距離AB=30m.求實驗樓的高BD.(結果精確到1m.參考數(shù)據(jù)tan20°≈0.36,sin20°≈0.34,cos20°≈0.94,
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