Question

20．如圖所示，已知AB是⊙O的直徑，弦AD是∠BAC的平分線，過點D作⊙O的切線l，且AC⊥DE，垂足為點E．
（1）求證：AD²=AB•AE；
（2）如果DE=$\sqrt{3}$，CE=1，請判別四邊形ACDO的形狀，并證明你的結論成立．

Answer 1

分析 （1）連接BD，證得△ABD∽△ADE，根據(jù)相似三角形的性質即可證得結論；
（2）證得△ADE∽△DEC，根據(jù)相似三角形的性質得AC=2，根據(jù)勾股定理得出DC=2，然后證得△OAD≌△CAD，根據(jù)全等三角形的性質證得OA=AC=2=OD=DC，即可證得四邊形ACDO是菱形．

解答 （1）證明：連接BD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∵AC⊥DE，
∴∠ADB=∠AED=90°，
∵∠BAD=∠EAD，
∴△ABD∽△ADE，
∴$\frac{AB}{AD}$=$\frac{AD}{AE}$，
∴AD²=AB•AE；
（2）解：四邊形ACDO是菱形，
∵DE=$\sqrt{3}$，CE=1，
∴DC=$\sqrt{D{E}^{2}+C{E}^{2}}$=2，
∵直線l是⊙O的切線，切點是D，
∴∠CDE=∠DAC，
∵∠AED=∠DEC，
∴△ADE∽△DEC，
∴$\frac{DE}{CE}$=$\frac{AE}{DE}$，即$\frac{\sqrt{3}}{1}$=$\frac{AE}{\sqrt{3}}$，
∴AE=3，
∴AC=AE-CE=3-1=2，
∴AC=CD=2，
∴∠DAC=∠ADC，
∵∠BAD=∠DAC，∠BAD=∠ODA，
∴∠OAD=∠ODA=∠DAC=∠ADC，
在△OAD和△CAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OAD=∠CAD}\\{AD=AD}\\{∠ODA=∠CDA}\end{array}\right.$
∴△OAD≌△CAD（ASA），
∴OA=AC=2=OD=DC，
∴四邊形ACDO是菱形．

點評 本題考查了切線的性質，圓周角定理，相似三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質等，熟練掌握性質定理是解題的關鍵．