Question

【題目】小波在復習時，遇到一個課本上的問題，溫故后進行了操作、推理與拓展．

(1)溫故：如圖1，在△ABC中，AD⊥BC于點D，正方形PQMN的邊QM在BC上，頂點P，N分別在AB， AC上，若BC=6，AD=4，求正方形PQMN的邊長．

(2)操作：能畫出這類正方形嗎?小波按數學家波利亞在《怎樣解題》中的方法進行操作：如圖2，任意畫△ABC，在AB上任取一點P′，畫正方形P′Q′M′N′，使Q′,M′在BC邊上，N′在△ABC內，連結B N′并延長交AC于點N，畫NM⊥BC于點M，NP⊥NM交AB于點P，PQ⊥BC于點Q，得到四邊形PQMN．小波把線段BN稱為“波利亞線”．

(3)推理：證明圖2中的四邊形PQMN 是正方形．

(4)拓展：在(2)的條件下，于波利業(yè)線B N上截取NE=NM，連結EQ，EM(如圖3)．當tan∠NBM=時，猜想∠QEM的度數，并嘗試證明．

請幫助小波解決“溫故”、“推理”、“拓展”中的問題．

Answer 1

【答案】（1）溫故：；（3）推理：四邊形PQMN為正方形.見解析；（4）拓展：猜想，理由見解析.

【解析】

（1）根據，列比例式求解即可；

（3）由作法知四邊形PQMN為矩形，通過三角形相似證明,,從而，可證四邊形PQMN為正方形；

（4）可設MN=3k，.則，，.根據兩邊對應成比例且夾角相等可證，從而.通過證明，可得.

（1）溫故：．

.

即.

解得.

（2）推理：由畫法可得.

四邊形PQMN為矩形，.

，

同理可得.

.

，.

四邊形PQMN為正方形.

（3）拓展：猜想，理由如下：

由可設MN=3k，.

則，，.

，，

.

，

，

.

，

.

，

.

.