Question

【題目】如圖，△ABC內接于⊙O，D是弧BC的中點，OD交BC于點H，且OH=DH，連接AD，過點B作BE⊥AD于點E，連接EH，BF⊥AC于M，若AC=5，EH=，則AF=_____．

Answer 1

【答案】

【解析】如圖，延長BE交AC的延長線于N，連接OB、OC、BD．

∵，

∴∠EAB=∠EAN，

∵AD⊥BN，

∴∠AEB=∠AEN=90°，

∴∠ABE+∠BAE=90°，∠N+∠EAN=90°，

∴∠ABE=∠N，

∴AB=AN，

∴BE=EN，

∵OD⊥BC，

∴BH=HC，

∴CN=2EH，

∴AB=AN=AC+CN=8，

∵OH=HD，BH⊥OD，

∴BO=BD=OD，

∴∠BOD=∠DOC=60°，

∴∠BAC=∠BOC=60°，

在Rt△AMB中，AM=AB=4，BM=4，

在Rt△BMC中，BC=，

∵∠MAF=∠MBC，∠AMF=∠BMC，

∴△AMF∽△BMC，

∴，

∴，

∴AF=．

故答案為．